Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Θέματα Πτυχιακής Εργασίας 2025-2026

Παρακαλούμε, δείτε τον [https://regulations.math.uoi.gr/index.php?title=Undergraduate%20Department%20Diploma%20Thesis Κανονισμό Εκπόνησης Πτυχιακής Εργασίας] '''πριν''' επιλέξετε θέμα και '''πριν''' έρθετε σε επαφή με τον διδάσκοντα.  Ο [https://regulations.math.uoi.gr/index.php?title=Undergraduate%20Department%20Diploma%20Thesis Κανονισμός Εκπόνησης Πτυχιακής Εργασίας] περιλαμβάνει προϋποθέσεις, διαδικασίες και προβλέψεις τις οποίες πρέπει να γνωρίζετε '''πριν''' κάνετε οποιαδήποτε περαιτέρω ενέργεια.

== Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης ==

==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-48 Μαυρίδης Κυριάκος] (Λέκτορας) ====

Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.

; Απόλυτα Συνεχείς Συναρτήσεις (Absolutely Continuous Functions)
: '''Συνιστώμενες γνώσεις''': Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση.
: Οι απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις είναι ακριβώς εκείνες οι σχεδόν παντού παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού. Κάθε απόλυτα συνεχής συνάρτηση είναι και συνεχής, αλλά το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Η έννοια της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης σχετίζεται με την έννοια του απόλυτα συνεχούς μέτρου, αλλά αυτές οι δύο έννοιες είναι διακριτές. Δείτε την [https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute%20continuity Wikipedia] και την [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Absolute%20continuity EncyclopediaOfMath] για να αποκτήσετε μια πρώτη εικόνα για το αντικείμενο. Το αντικείμενο της εργασίας είναι: (1) η παρουσίαση της έννοιας της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης, (2) η ανάλυση της χρησιμότητας της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης, (3) η πλήρης ανάπτυξη της σχέσης της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης με τις έννοιες της συνέχειας, της ομοιόμορφης συνέχειας, της συνεχούς διαφορισιμότητας, της κατά Lipchitz συνέχειας, της φραγμένης μεταβολής και της διαφορισιμότητας σχεδόν παντού, (4) η ανάπτυξη των βασικών ιδιοτήτων των απόλυτα συνεχών συναρτήσεων, και (5) η όχι εκτεταμένη παρουσίαση της σχέσης της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης με την έννοια του απόλυτα συνεχούς μέτρου. Βιβλία Πραγματικής Ανάλυσης, Συναρτησιακής Ανάλυσης, Θεωρίας Μέτρου, καθώς και εισαγωγικών γνώσεων του αντικειμένου της Μαθηματικής Ανάλυσης, είναι αρκετά πιθανό να περιέχουν σε μικρό ή μεγάλο βαθμό υλικό που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αυτή την εργασία. Ενδεικτική βιβλιογραφία: (1) Bruckner, Bruckner and Thomson, "[http://classicalrealanalysis.info/Real-Analysis.php Real Analysis]", (2) Hewitt and Stromberg, "[https://doi.org/10.1007/978-3-662-29794-0 Real and abstract analysis]", και (3) Royden, "[https://www.pearson.com/en-us/subject-catalog/p/real-analysis-classic-version/P200000006336/9780134689494?tab=table-of-contents Real Analysis]".
; Θεωρήματα Σταθερού Σημείου σε Ασθενή Τοπολογία (Fixed Point Theory under Weak Topology)
: '''Συνιστώμενες γνώσεις''': Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση.
: Το αντικείμενο αυτής της εργασίας ταυτίζεται με την ανάπτυξη του ομότιτλου κεφαλαίου του βιβλίου των Jeribi και Krichen [https://doi.org/10.1201/b18790 Nonlinear Functional Analysis in Banach Spaces], καθώς και με εφαρμογές των θεωρητικών αποτελεσμάτων που αυτό περιλαμβάνει. Για την επαρκή ανάπτυξη του αντικειμένου είναι εύλογο να χρησιμοποιηθούν και άλλα κεφάλαια του συγκεκριμένου βιβλίου ή άλλες πηγές. Το εν λόγω κεφάλαιο αναπτύσσει θεωρήματα σταθερού σημείου σε χώρους εφοδιασμένους με ασθενείς τοπολογίες. Άλλα κεφάλαια του βιβλίου παρουσιάζουν εφαρμογές αυτών των θεωρημάτων.  Καθώς το αντικείμενο δύναται να ευνοεί την εκτεταμένη ανάπτυξη, είναι σημαντικό να γίνει λελογισμένη επιλογή της ύλης που θα παρουσιαστεί στην εργασία και να μην υπάρχει υπέρμετρη απόκλιση από τα πλαίσια του συγκεκριμένου βιβλίου.
; Κλασματικός Λογισμός (Fractional Calculus)
: '''Συνιστώμενες γνώσεις''': Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση.
: Ο Κλασματικός Λογισμός αποτελεί μια επέκταση του κλασικού Απειροστικού Λογισμού, σε παραγώγους και ολοκληρώματα των οποίων η τάξη δεν είναι αναγκαστικά φυσικός αριθμός. Ο τρόπος ορισμού τέτοιων παραγώγων και ολοκληρωμάτων δεν είναι αναγκαστικά μοναδικός, με συνέπεια να υφίστανται διάφορες εκδοχές τέτοιων επεκτάσεων. Δείτε την [https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional%20calculus Wikipedia] και την [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fractional%20integration%20and%20differentiation EncyclopediaOfMath] για να αποκτήσετε μια πρώτη εικόνα για το αντικείμενο. Το αντικείμενο της εργασίας είναι: (1) η παρουσίαση της έννοιας του κλασματικού ολοκληρώματος και της κλασματικής παραγώγου, (2) η παρουσίαση των διαφόρων εκδοχών κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (3) η επεξήγηση της σχέσης των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων με τα συνήθη ανάλογα τους, (4) η παρουσίαση των βασικών ιδιοτήτων των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (5) η ενδεικτική παρουσίαση πρακτικών εφαρμογών των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (6) η ειδική αναφορά σε διαφορικές εξισώσεις που περιλαμβάνουν κλασματικά ολοκληρώματα και παραγώγους και στους τρόπους μελέτης αυτών. Υπάρχει πληθώρα βιβλίων με αποκλειστικό περιεχόμενο τέτοιου είδους ολοκληρώματα και παραγώγους. Ενδεικτική βιβλιογραφία: (1) Das, "[https://doi.org/10.1007/978-3-642-20545-3 Functional Fractional Calculus]", (2) Podlubny, "[https://shop.elsevier.com/books/fractional-differential-equations/podlubny/978-0-12-558840-9 Fractional Differential Equations]". Καθώς το αντικείμενο δύναται να ευνοεί την εκτεταμένη ανάπτυξη, είναι σημαντικό να γίνει λελογισμένη επιλογή της ύλης που θα παρουσιαστεί στην εργασία.

== Τομέας Άλγεβρας και Γεωμετρίας ==

==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-52 Σάββας-Χαλιλάι Ανδρέας] (Αναπληρωτής Καθηγητής) ====

Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.

; Ελαχιστικές επιφάνειες και το πρόβλημα του Plateau
: Μια ελαχιστική επιφάνεια χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα ότι “μικρή" μεταβολή της θα αυξίσει το εμβαδό της. Το πρόβλημα του Plateau αφορά την εύρεση μιας ελαχιστικής επιφάνειας όταν το σύνορο της είναι δεδομένο. Το ερώτημα είχε τεθεί πρώτα από τον Joseph-Luis Lagrange το 1970, αλλά πήρε το όνομά του από τον Joseph Plateau που έκανε πειράματα με ταινίες σαπουνιού. Το πρόβλμα θεωρείται μέρος του Λογισμού Μεταβολών. Αξίζει να σημειώθει ότι λύθηκε πλήρως το 1930, ανεξάρτητα, από τους Jesse Douglas (δείτε το λινκ [https://en.wikipedia.org/wiki/Jesse%20Douglas εδώ]) και Tibor Rado (δείτε το λινκ [https://en.wikipedia.org/wiki/Tibor_Rad%C3%B3 εδώ]). Επίσης, οι μέθοδοι που αναπτύχθηκαν από Douglas και Rado ήταν διαφορετικοί μεταξύ τους. Ο Douglas βραβεύτηκε με το Fields Medal το 1936 για την εργασία του πάνω σε αυτό το πρόβλημα. Στόχος αύτης της δράσης θα είναι η διεξοδική μελέτη ελαχιστικών επιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο, της απεικόνισης Gauss, της λύσης του προβλήματος του Plateau σε ειδικές περιπτώσεις καθώς και η μοναδικότητά της λύσης. Προαπαιτούμενα μαθήματα είναι η Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία και ο Διαφορικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) T. Colding and W. Minicozzi, A course in minimal surfaces, AMS, 2011, (2) R. Osserman, A survey of minimal surfaces, Dover Publications, 1989.

; Ομοτοπία, ισοτοπία και βαθμός Hopf
: Εδώ θα μελετήσουμε προβλήματα που άπτονται των περιοχών της Γεωμετρίας και Τοπολογίας. Το κύριο ερώτημα με το οποίο θα ασχοληθούμε σε αυτή τη δράση είναι πώς καταλαβαίνουμε ότι δύο συνεχείς απεικονίσεις μεταξύ τοπολογικών χώρων ή γενικά δύο σχήματα είναι διαφορετικά. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι δύο συνεχής κλειστές καμπυλές σε μια επιφάνεια είναι διαφορετικές όταν δεν υπάρχει συνεχής παραμόρφωση της μιας πάνω στη άλλη. Αντιλαμβανόμαστε ότι το “σχήμα” του περιβάλλοντα χώρου παίζει σημαντικό ρόλο στην απάντηση του προβλήματος. Λόγου χάριν, στη σφαίρα κάθε συνεχής κλειστή καμπύλη δύναται να παραμορφωθεί σε σημείο ενώ στον τόρο όχι απαραίτητα. Προαπαιτούμενα είναι γνώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας και Διαφορικού Λογισμού Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) M. A. Armstrong, Basic topology, UTM, Springer-Verlag, 1983, (2) K. Janich, Topology, UTM, Springer-Verlag, 2012, (3) J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Univ. of Virginia, 1965.

; Σύμμορφες απεικονίσεις στον ευκλείδειο χώρο.
: Στόχος αυτής της δράσης είναι να μελετήσουμε την γεωμετρία των σύμμορφων απεικονίσεων στον n-διάστατο ευκλείδειο χώρο. Θα εισαγάγουμε τις ιδιάζουσες τιμές μιας λείας απεικόνισης, μέσω των οποίων θα δώσουμε μια γεωμετρική ερμηνεία της συμμορφίας. Επίσης, θα δείξουμε το θεώρημα του Καραθεωδορή και το θεώρημα του Liouville για σύμμορφες απεικονίσεις στον (n>2)-διάστατο χώρο. Δεν απαιτείται καμία ιδιαίτερη γνώση, πέρα από στοιχειώδη Γραμμική Άλγεβρα και Λογισμό Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) D. Blair, Inversion theory and conformal mapping, Student Mathematical Library, Vol. 9, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.

== Τομέας Εφαρμοσμένων και Υπολογιστικών Μαθηματικών ==

==== [https://spooky.math.uoi.gr/~skontog/ Κοντογιάννης Σωτήριος] (Ε.ΔΙ.Π.) ====

; Μελέτη και υλοποίηση διαδραστικού Διαδικτυακού μοντέλου ταξινόμησης βαθιάς μάθησης για ιατρικές εφαρμογές.
: Η μελέτη και υλοποίηση διαδραστικών Διαδικτυακών μοντέλων ταξινόμησης βαθιάς μάθησης για ιατρικές εφαρμογές είναι ένα πεδίο που συνδυάζει την τεχνητή νοημοσύνη (AI), την επιστήμη των υπολογιστών και τις βιοϊατρικές επιστήμες. Στόχος είναι η δημιουργία εργαλείων που μπορούν να αναλύουν μεγάλες ποσότητες δεδομένων και να εξάγουν σημαντικά συμπεράσματα ανίχνευσης και ταξινόμησης, βοηθώντας έτσι στην ιατρική διάγνωση-ανίχνευση και θεραπεία. Στα πλαίσια της διπλωματικής εργασίας αυτής θα υλοποιηθεί ένα σύνολο εργαλείων εκπαίδευσης ενός νέου μοντέλου βαθιάς μάθησης, ταξινόμησης βασιζόμενο σε Συνελικτικά Νευρωνικά Δίκτυα (CNNs). Tα δεδομένα εισόδου του μοντέλου αυτού θα περιλαμβάνουν είτε δεδομένα εικόνας είτε δεδομένα μετρήσεων αισθητήρων. Το μοντέλο αυτό θα εξεταστεί ως προς την απόδοσή του και θα υλοποιηθεί και κατάλληλη Διαδικτυακή διεπαφή χρήσης αυτού.
: Προαπαιτούμενα: Κατεύθυνση Πληροφορικής. Επιτυχής παρακολούθηση των μαθημάτων 741.

==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-56 Μπέκος Μιχάλης] (Eπίκουρος Kαθηγητής) ====

Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.

; Απεικόνιση γραφημάτων
: Αποτελεί τομέα των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών που συνδυάζει μεθόδους από τη γεωμετρική θεωρία γραφημάτων και την οπτικοποίηση πληροφοριών για την παραγωγή απεικονίσεων γραφημάτων στο Ευκλείδειο επίπεδο ή στον τρισδιάστατο χώρο. Για μια σύντομη εισαγωγή, μπορείτε να παρακολουθήσετε [https://www.youtube.com/watch?v=jBpE21MIDN4 εδώ] μία σχετική διάλεξη, η οποία αποτελεί μέρος μιας σειράς διαλέξεων στο αντικείμενο αυτό, του Καθ. P. Kindermann.
; Γραμμικές διατάξεις γραφημάτων
: Αποτελεί τομέα της επιστήμης των υπολογιστών και της συνδυαστικής που εστιάζει στη μελέτη διατάξεων των κορυφών ενός γραφήματος υπό το πρίσμα διαφορετικών συναρτήσεων βελτιστοποίησης. Για μια σύντομη επισκόπηση, μπορείτε να παρακολουθήσετε την εισαγωγή του J. Grime στο NumberPhile, την οποία θα βρείτε [https://www.youtube.com/watch?v=qw2Pl%20Nk3CA εδώ].
; Επίλυση δύσκολων προβλημάτων με SAT
: Αποτελεί τομέα της επιστήμης των υπολογιστών που εστιάζει στη μοντελοποίηση δύσκολων προβλημάτων συνδυαστικής ή βελτιστοποίησης ως ισοδύναμα προβλήματα SAT (Boolean Satisfiability Problems) και στην επίλυση τους μέσω αντίστοιχων λογισμικών επίλυσης. Για μια εφαρμογή σε γραμμικές διατάξεις γραφημάτων δείτε [http://alice.math.uoi.gr/ εδώ].
; Αλγοριθμική σήμανση χαρτών
: Αποτελεί μέρος της επιστήμης των υπολογιστών, της χαρτογραφίας και δη των γεωγραφικών συστημάτων πληροφοριών που εστιάζει στη μελέτη και ανάπτυξη αλγοριθμικών μεθόδων σήμανσης χαρτών με χρήση προσδιοριστικών ετικετών. Μια εισαγωγή στα προβλήματα που εξετάζονται μπορείτε να βρείτε [https://arxiv.org/pdf/1902.01454.pdf εδώ].

==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-50 Ξένος Μιχάλης] (Kαθηγητής) ====

Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.
<!--
; Αριθμητικές λύσεις της ροής σε στενωτική αρτηρία εφαρμόζοντας τεχνικές μηχανικής μάθησης
: Η παρούσα διπλωματική εργασία επικεντρώνεται στην αριθμητική επίλυση της αιματικής ροής σε στενωτική αρτηρία, αξιοποιώντας τεχνικές μηχανικής μάθησης. Στόχος είναι η μείωση του υπολογιστικού χρόνου σε σύγκριση με τις μεθόδους Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (Computational Fluid Dynamics - CFD). Αρχικά θα δημιουργηθεί ένα σύνολο δεδομένων μέσω αριθμητικών λύσεων των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την αιματική ροή σε στενωτικές αρτηρίες χρησιμοποιώντας διαφορετικές συνοριακές συνθήκες, καταλήγοντας σε διαφορετικούς αριθμούς Reynolds. Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιηθούν τεχνικές μηχανικής και επιβλεπόμενης μάθησης (Supervised Learning), μέσω νευρωνικών δικτύων για την πρόβλεψη σημαντικών παραμέτρων της ροής, όπως η κατανομή της ταχύτητας, η πίεση και η διατμητική τάση στο τοίχωμα. Τα τελικά αποτελέσματα θα συγκριθούν με αντίστοιχα αποτελέσματα των κλασικών CFD μεθόδων, με σκοπό τον υπολογισμό της ακρίβειας και των σφαλμάτων της μεθόδου.
-->
; Μαθηματική θεμελίωση και εφαρμογές υπολογιστικής ρευστοδυναμικής - Large Eddy Simulation
: Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η μαθηματική θεμελίωση της μεθόδου Large Eddy Simulation (LES), με έμφαση στην κατανόηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων, των τεχνικών φιλτραρίσματος και των μοντέλων υποπλέγματος (Subgrid Scale - SGS) που χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση της μεταφοράς ενέργειας σε μικρές κλίμακες τύρβης. Αρχικά, μελετάται αναλυτικά η διαδικασία φιλτραρίσματος των εξισώσεων Navier–Stokes, από τις οποίες προκύπτουν οι εξισώσεις LES. Στη συνέχεια, αναλύονται τα βασικότερα μοντέλα υποπλέγματος, όπως το μοντέλο Smagorinsky, τα δυναμικά μοντέλα και πιο σύγχρονες προσεγγίσεις. Ακολουθεί συγκριτική επισκόπηση της LES σε σχέση με άλλες υπολογιστικές μεθόδους όπως οι RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes) και DNS (Direct Numerical Simulation), τόσο ως προς την ακρίβεια όσο και ως προς το υπολογιστικό κόστος. Τέλος, παρουσιάζονται ενδεικτικές εφαρμογές της μεθόδου LES σε διάφορους τομείς, μεταξύ των οποίων η αεροδυναμική και η αιμοδυναμική. Στόχος της εργασίας είναι η σε βάθος κατανόηση της μαθηματικής μοντελοποίησης και των υπολογιστικών τεχνικών που διέπουν τη μέθοδο LES, καθώς και η ανάδειξη των εφαρμογών της σε πολύπλοκα ρευστοδυναμικά προβλήματα.

; Επίλυση των μη μόνιμων εξισώσεων Navier Stokes, ροή γύρω από σταθερό εμπόδιο
: Η παρούσα διπλωματική εργασία εστιάζει στη μελέτη της μη μόνιμης δισδιάστατης ροής ρευστού γύρω από τετραγωνικό εμπόδιο, με χρήση κωδίκων που αναπτύσσονται στο εργαστήριο εφαρμοσμένων και Υπολογιστικών Μαθηματικών (in-house codes) σε περιβάλλον MATLAB. Το υπολογιστικό μοντέλο βασίζεται στην επίλυση των μη μόνιμων εξισώσεων Navier–Stokes για ιξώδες, ασυμπίεστο ρευστό, με τη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method - FVM). Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην κατασκευή του πλέγματος στην εξωτερική περιοχή γύρω από το τετράγωνο μέσω κατάλληλης κατασκευής μη ομοιόμορφου πλέγματος, που επιτρέπει την αυξημένη ακρίβεια κοντά στα τοιχώματα και στο φαινόμενο της αποκόλλησης της ροής. Αξιοποιείται η υπολογιστική μέθοδος Levenberg–Marquardt για την επίλυση του μη γραμμικού συστήματος με στόχο τη μείωση των σφαλμάτων σε κρίσιμες περιοχές. Τα αποτελέσματα επικεντρώνονται στην παρατήρηση των στροβίλων Von Karman στην περιοχή πίσω από το τετράγωνο, καθώς και στην κατανομή της ταχύτητας και της πίεσης σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Μέσω συγκρίσεων με αποτελέσματα από τη βιβλιογραφία, αξιολογείται η ακρίβεια και η αποδοτικότητα του αναπτυγμένου in-house code.