Θεμελιώδεις Έννοιες Μαθηματικών (MAY112)

Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAY112
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις, παρουσιάσεις και ασκήσεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 5, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Γενικού Υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Στο μάθημα αυτό ο φοιτητής εξοικειώνεται αρχικά με βασικά εργαλεία-έννοιες των μαθηματικών από τη λογική των προτάσεων, τη θεωρία συνόλων (πράξεις συνόλων και ιδιότητες αυτών), τις διμελείς σχέσεις και τις συναρτήσεις. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε συνακόλουθες έννοιες των παραπάνω, όπως, οι έννοιες των συλλογών και οικογενειών συνόλων (καλύψεις, διαμερίσεις), οι έννοιες των φραγμάτων (max, min, inf, sup), καθώς και οι έννοιες της εικόνας και αντίστροφης εικόνας συνόλων μέσω συναρτήσεων. Μέρος του κορμού αυτού του μαθήματος είναι η αξιωματική θεμελίωση του συνόλου των πραγματικών αριθμών που πρέπει να αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της συγκρότησης ενός μαθηματικού. Έτσι, ο φοιτητής μαθαίνει από το πρώτο εξάμηνο των σπουδών του ότι το βασικό πεδίο της καθημερινής του ασχολίας και έρευνας, το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δεν είναι αποτέλεσμα εμπειρικής προσέγγισης αλλά συστηματικής αξιωματικής θεμελίωσης. Παράλληλα, έμμεσα αλλά με σαφή τρόπο, ο φοιτητής ανακαλύπτει την αξία και τη σκοπιμότητα της αξιωματικής θεμελίωσης στην κατασκευή μαθηματικών δομών. Τέλος, με το ενότητα που αναφέρεται στους πληθικούς αριθμούς των συνόλων ο φοιτητής, εκτός από την αριθμητική των πληθικών αριθμών των πεπερασμένων συνόλων συστηματοποιεί τα είδη των απεράντων συνόλων (αριθμήσιμα, το πολύ αριθμήσιμα, υπεραριθμήσιμα), προσεγγίζει με αυστηρό τρόπο την έννοια του απείρου και κατατάσσει σε σχέση με την έννοια αυτή σύνολα που χρησιμοποιεί καθημερινά, όπως, το σύνολο των φυσικών αριθμών, το σύνολο των ακεραίων αριθμών το σύνολο των ρητών αριθμών και το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η αφομοίωση των γνώσεων αυτών, συντελεί σε μεγάλο βαθμό στην απόκτηση ενός καλού και ποιοτικού βάθρου ώστε να μπορεί ο φοιτητής να αντιμετωπίσει με μαθηματική αυστηρότητα και επάρκεια, θέματα απ’ όλους τους κλάδους των Μαθηματικών.

Γενικές Ικανότητες

Ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών Αυτόνομη εργασία Ομαδική εργασία Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον Προαγωγή δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης Προαγωγή της αναλυτικής και συνθετικής σκέψης

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών, τριγωνομετρικός κύκλος. Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών και διπλασίου τόξου. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Μετασχηματισμός γινομένων σε αθροίσματα και αθροισμάτων σε γινόμενα.
• Λογικές προτάσεις. Προτασιακός Λογισμός. Ταυτολογίες.
• Βασική θεωρία συνόλων. Ένωση, τομή, διαφορά, συμμετρική διαφορά συνόλων και ιδιότητες των πράξεων αυτών. Δυναμοσύνολο και συμπλήρωμα συνόλου. Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων. Η έννοια της συλλογής συνόλων.
• Σχέσεις. Σύνθεση σχέσεων. Ιδιότητες των σχέσεων. Σχέσεις ισοδυναμίας, κλάσεις ισοδυναμίας. Σχέσεις διάταξης. Φράγματα και φραγμένα σύνολα. Καλά διατεταγμένα σύνολα. Αρχή επαγωγής, αρχή της υπερπεπερασμένης επαγωγής.
• Συναρτήσεις. Βασικές έννοιες. Αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση, επί συνάρτηση. Αντίστροφη συνάρτηση. Εικόνα και αντίστροφη εικόνα ενός συνόλου μέσω μιας συνάρτησης. Συναρτήσεις και διατεταγμένα σύνολα.
• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αξιωματική θεμελίωση. Το σύνολο των φυσικών αριθμών. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών. Το σώμα των ρητών αριθμών. Ρίζες μη αρνητικών πραγματικών αριθμών. Το σύνολο των αρρήτων αριθμών.
• Ισοδύναμα σύνολα. Τα αρχικά τμήματα των φυσικών αριθμών. Πεπερασμένα σύνολα. Άπειρα σύνολα. Το θεώρημα των Schröder-Bernstein. Αριθμήσιμα σύνολα. Το πολύ αριθμήσιμα σύνολα. Υπεραριθμήσιμα σύνολα. Το Θεώρημα του Cantor. Το αξίωμα της επιλογής. Ισοδύναμα του αξιώματος της επιλογής.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Διαλέξεις-παρουσιάσεις στην αίθουσα.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση ειδικού λογισμικού (TEX, Mathenatica, κλπ) για την παρουσίαση εργασιών και ασκήσεων.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ5) 65 Αυτοτελής Μελέτη 100 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 22.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου σε θέματα της θεωρίας του μαθήματος, καθώς και σε ασκήσεις-προβλήματα σχετικά με τη θεωρία.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

• K. G. Binmore, Logic, Sets and Numbers, Cambridge University Press, 1980.
• W. W. Fairchild and C. I. Tulcea, Sets, W. B. Shaunders Co. Philadelphia, 1970.
• S. Lipschutz, Set Theory and Related Topics, Schaum’s Outline Series, New York, 1965.
• D. Van Dalen, H. C. Doets and H. Deswart, Sets: Naïve, Axiomatic and Applied, Pergamon Press, Oxford, 1987.