Αριθμητική Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους (ΑΑ6)

Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΑΑ6
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού υποβάθρου, ανάπτυξη δεξιοτήτων.
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα μπορούν να: εφαρμόζουν προηγμένες θεωρητικές τεχνικές της αριθμητικής ανάλυσης για την απόδειξη εκτιμήσεων σφάλματος για αριθμητικές μεθόδους για την προσέγγιση της λύσης ελλειπτικών προβλημάτων συνοριακών συνθηκών και παραβολικών προβλημάτων αρχικών τιμών και συνοριακών συνθηκών. επιδεικνύουν ανεξαρτησία στη χρήση ερευνητικού υλικού για την απόδειξη βασικών αποτελεσμάτων υλοποιούν αριθμητικές μεθόδους χρησιμοποιώντας εξελιγμένο λογισμικό (Octave ή FEniCS) και κατασκευάζουν κατάλληλα αριθμητικά πειράματα με στόχο την επαλήθευση των αντίστοιχων θεωρητικών αποτελεσμάτων. αξιολογούν την ορθότητα των αριθμητικών αποτελεσμάτων χρησιμοποιώντας τόσο τη θεωρία των αριθμητικών μεθόδων όσο και τα αποτελέσματα των αντίστοιχων συνεχών προβλημάτων.

Γενικές Ικανότητες

Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών. Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις. Αυτόνομη εργασία. Λήψη αποφάσεων. Προαγωγή της αναλυτικής και συνθετικής σκέψης. Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης. Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Χώροι Hilbert, το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, το θεώρημα των Lax-Milgram, το θεώρημα του Cea.
• Στοιχεία από τη θεωρία των χώρων Sobolev στη μία διάσταση, γενικευμένες παράγωγοι, ανισότητα των Poincare-Friedrichs,
• Η μεταβολική μορφή και η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για μονοδιάστατα και δυσδιάστατα ελλειπτικά προβλήματα συνοριακών τιμών. Εκ των προτέρων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος, αυτόματη επιλογή του διαμερισμού.
• Ημιδιακριτά και πλήρως διακριτά σχήματα για παραβολικά προβλήματα αρχικών τιμών και συνοριακών συνθηκών. Χρονική διακριτοποίηση με την άμεση και πεπλεγμένη μέθοδο του Euler και τη μέθοδο των Crank-Nicolson.
• Υλοποίηση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων στον υπολογιστή.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Xρήση ταμπλέτας για την παράδοση διδασκαλίας. Οι σημειώσεις από την τάξη γίνονται διαθέσιμες σε μορφή pdf στο ecourse. Παροχή υλικού μελέτης μέσω του ecourse. Επικοινωνία με τους φοιτητές χρησιμοποιώντας e-mail, και τις πλατφόρμες ecourse και MTeams. Χρήση λογισμικών πακέτων (Octave ή FEniCS) για την υλοποίηση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Αυτοτελής Μελέτη 70 Λύση Ασκήσεων 25 Εκπόνηση Εργασίας 35 Δημόσια Παρουσίαση 18.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Θεωρητικές ασκήσεις (βάρος 30%, κάλυψη των μαθησιακών αποτελεσμάτων 1-2) Εκπόνηση μελέτης, με χρήση LaTeX (βάρος 45%, κάλυψη των μαθησιακών αποτελεσμάτων 1-4) Δημόσια παρουσίαση, με χρήση Βeamer (βάρος 25%, κάλυψη των μαθησιακών αποτελεσμάτων 1-4)

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

• “Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων”, Γ. Δ. Ακρίβης, Λευκωσία, 2005.
• “Αριθμητική λύση μερικών διαφορικών εξισώσεων”, Μ. Πλεξουσάκης, & Π. Χατζηπαντελίδης, Κάλλιππος, 2015. http://hdl.handle.net/11419/665
• “The Mathematical Theory of Finite Element Methods”, S.C. Brenner, & L.R. Scott (Third ed., Vol. 15), Springer, New York, 2008.
• “Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems”, V. Thomee, Springer-Verlag, 1997.