Αλγεβρική Τοπολογία Ι (ΓΕ5)

Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΓΕ5
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Ι
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διάφορες μορφές διδασκαλίας (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού Υπόβαθρου, Ανάπτυξης ιδιαίτερων δεξιοτήτων στην τοπολογία - γεωμετρία - άλγεβρα
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	ΜΑΥ413 Τοπολογία, ΜΑΥ422 Αλγεβρικές Δομές I
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Η αλγεβρική τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών ο οποίος αναπτύχθηκε τον εικοστό αιώνα με καταβολές σχετιζόμενες με αρχαία προβλήματα των μαθηματικών. Το κύριο χαρακτηριστικό του κλάδου είναι οι ποικίλες εφαρμογές και επηρεασμοί άλλων κλάδων στα μαθηματικά και άλλες επιστήμες. Όπως άλγεβρα, ανάλυση, διαφορική και αλγεβρική γεωμετρία, θεωρία αριθμών. Αλλά και φυσική, βιολογία, οικονομικές επιστήμες. Απαιτείται ευχέρεια και χρήση βασικών εννοιών από τη Γενική Τοπολογία. Μελετάται η συμπαγής Ανοικτή Τοπολογία σαν εργαλείο μελέτης χώρων απεικονίσεων. Γίνεται μελέτη ομάδων με επιπρόσθετες δομές όπως ομάδες Lie. Μελετάται πότε μια κατηγορία χώρων είναι "καλή" από την τοπολογική σκοπιά; Μελέτη ομοτοπίας και χρήση εργαλείων για υπολογισμούς. Επίσης μελέτη του ερωτήματος "Πως θα μπορούσαμε να ξεχωρίσουμε τοπολογικούς χώρους μεταξύ τους"; Υπολογισμός των πρωταρχικών ομάδων για βασικούς τοπολογικούς χώρους μέσω των καλυπτικών απεικονίσεων και ταξινόμηση αυτών.

Γενικές Ικανότητες

Η μετάβαση και ευχέρεια κατανόησης δύσκολων μαθηματικών αποδείξεων. Αυτόνομη εργασία ώστε να έχουν την ευκαιρία να βελτιώσουν την ικανότητά τους για συγγραφή ατομικών μαθηματικών κειμένων. Παροχή των απαραίτητων γνώσεων ώστε να μπορούν να κατανοήσουν - αναλύσουν τοπολογικά-γεωμετρικά προβλήματα.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Συμπαγής Ανοικτή Τοπολογία. Ομοτοπία, πρωταρχική ομάδα. Ομοτοπία του κύκλου. Cell complexes. Πραγματικός προβολικός χώρος. Μιγαδικός προβολικός χώρος. Καλυπτικοί χώροι. Παραμορφώσεις. Ταξινόμηση καλυπτικών χώρων. Εφαρμογές. Θεώρημα Scheifert-Van Kampen. Πρωταρχικές ομάδες επιφανειών.

Singular ομολογία. Ομοτοπικές απεικονίσεις και ομολογία. Εργαλεία, μακριές ακριβείς ακολουθίες. Ομολογία σφαίρας. Σχετική ομολογία, Εκτομή. Βαθμός απεικονίσεων στη σφαίρα, Θεωρήματα σταθερού σημείου.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Φροντιστήριο 28 Συγγραφή εργασίας 30 Ασκήσεις 40,5 Εξετάσεις 50 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γραπτή εξέταση, Προφορική παρουσίαση, εβδομαδιαίες ασκήσεις.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

• A first course in topology, j. Muncres, Prentice Hall.
• Algebraic Topology, A. Hatcher, https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/
• A Concise Course in Algebraic Topology, J. P. May, https://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf