Διαφορική Τοπολογία (ΓΕ4)

Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΓΕ4
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού Υπόβαθρου Υπόβαθρου, Ανάπτυξης ιδιαίτερων Δεξιοτήτων στην τοπολογία - γεωμετρία - άλγεβρα
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	-
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση εφαρμογών της Αλγεβρικής Τοπολογίας και Διαφορικής Γεωμετρίας στη μελέτη τοπολογικών αναλλοιώτων διαφορίσιμων πολυπτυγμάτων. Στο μάθημα, θα παρουσιαστούν διάφορες εφαρμογές στη θεωρία υποπολυπτυγμάτων. Στο τέλος του μαθήματος, ο μεταπτυχιακός φοιτητής θα είναι σε θέση να μελετάει νέα ερευνητικά άρθρα που θα του είναι απαραίτητα για την εκπόνηση μεταπτυχιακής ή διδακτορικής διατριβής.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο μεταπτυχιακός φοιτητής να αποκτήσει ειδικές γνώσεις στη Θεωρία Morse και στη Διαφορική Τοπολογία.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Ομολογία και συνομολογία.
• Διανυσματικές δέσμες.
• Βαθμός απεικόνισης, Χαρακτηριστική Euler.
• Αριθμοί Betti.
• Συγκόλληση πολυπτυγμάτων.
• Συνορισμός, ο ομομορφισμός του Thom.
• Συναρτήσεις Morse.
• Το θεώρημα των Morse - Sard.
• Περνώντας από κρίσιμες τιμές.
• Προσάρτηση χειρολαβών.
• Κυτταρική διάσπαση πολυπτυγμάτων.
• Το θεώρημα του Reeb.
• Ανισότητες Morse.
• Ολική καμπυλότητα και απεικόνιση Gauss.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες 70.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

• T. Bröcker, K. Jänich, Introduction to differential topology, Cambridge Univ. Press, 1982.
• V. Guillemin and A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, 1974.
• J. Milnor, Morse Theory, Annals of Mathematical Studies, 51. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
• J. Milnor, Topology from a differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville, Va. 1965.