Εφαρμοσμένη Άλγεβρα (ΑΛ3)

• English version
• Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων
• Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΑΛ3
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Γενικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στα κυριότερα εργαλεία και τις μεθόδους της θεωρίας πολυωνύμων υπεράνω πεπερασμένων σωμάτων με τις εφαρμογές της στην Αλγεβρική Κρυπτογραφία και Κωδικοποίηση με χρήση μεθόδων από τη θεωρία αλγεβρικών, ιδιαίτερα ελλειπτικών, καμπύλων. Επιπρόσθετα δίνονται εφαρμογές σε διάφορες περιοχές των Μαθηματικών και άλλων επιστημών. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα σε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών και συναφών επιστημών, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων σε διάφορα πεδία, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς για την κατασκευή και ανάλυση αλγεβρικών κωδίκων και κρυπτογραφικών μηνυμάτων.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο πτυχιούχος να αποκτήσει την ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Πεπερασμένων Σωμάτων και της Θεωρίας Πολυωνύμων υπεράνω πεπερασμένων σωμάτων, η οποία αποτελεί ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης Άλγεβρας, με σκοπό την ανάλυση και εφαρμογή στη θεωρία κωδίκων και στη σύγχρονη κρυπτογραφία. Ειδικότερα στο μάθημα αναλύεται η βασική θεωρία (γραμμικών και κυκλικών) κωδίκων, η βασική θεωρία ελλειπτικών καμπύλων, και οι εφαρμογές της στην κρυπτογραφία. Ερχόμενος ο πτυχιούχος για πρώτη φορά σε επαφή με έννοιες της Θεωρίας πεπερασμένων σωμάτων, της θεωρίας κωδίκων και της σύγχρονης κρυπτογραφίας με χρήση ελλειπτικών καμπύλων, προάγεται η δημιουργική, αναλυτική και επαγωγική σκέψη του, και η ικανότητά του να εφαρμόζει αφηρημένες γνώσεις σε διάφορα πεδία τα οποία αποτελούν θέματα αιχμής σε διάφορα επιστημονικά πεδία με άμεσες εφαρμογές στη σύγχρονη ζωή.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Πεπερασμένα Σώματα και Πολυώνυμα.
• Δακτύλιοι, Ιδεώδη, Ομομορφισμοί, Πολυώνυμα, Σώματα, Αλγεβρικές Επεκτάσεις.
• Πεπερασμένα Σώματα, Ανάγωγα Πολυώνυμα υπεράνω πεπερασμένων σωμάτων, Παραγοντοποίηση πολυωνύμων υπεράνω πεπερασμένων σωμάτων.
• Υπενθυμίσεις από τη στοιχειώδη Θεωρία Αριθμών.
• Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα. Γραμμικοί και κυκλικοί κώδικες.
• Αλγεβρική κρυπτογραφία.
• Βασικά στοιχεία από τη θεωρία αλγεβρικών καμπυλών.
• Ελλειπτικές καμπύλες.
• Εφαρμογές της θεωρίας ελλειπτικών καμπυλών στην κρυπτογραφία.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Μελέτη της θεωρίας 78 Επίλυση ασκήσεων 70.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Η αξιολόγηση βασίζεται συνδυαστικά στις επιδόσεις του μεταπτυχιακού φοιτητή σε: Εβδομαδιαίες εργασίες, Παρουσιάσεις κατά τη διάρκεια του εξαμήνου, Εργασία στο τέλος του μαθήματος, Γραπτή εξέταση στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

• N. Koblitz: “Algebraic aspects of cryptography”, Springer-Verlag, (1998).
• Δ. Πουλάκης: “Κρυπτογραφία”, Εκδόσεις Ζήτη, (2004).
• Δ. Πουλάκης: “Γεωμετρία των Αλγεβρικών Καμπυλών”, Εκδόσεις Ζήτη, (2006).
• Ι. Αντωνιάδης και Α. Κοντογεώργης: “Πεπερασμένα Σώματα και Κρυπτογραφία”, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών, (2015).
• I.F. Blake, G. Seroussi, and N. Smart: “Elliptic Curves in Cryptography”, Lecture Note Series. Cambridge University Press, (1999).
• N. Koblitz: “A Course in Number Theory and Cryptography”, Springer-Verlag, (1994).