Wiki Τμήματος Μαθηματικών
Διαφορική Τοπολογία (ΓΕ4): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Διαφορική Τοπολογία (ΓΕ4): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Από Wiki Τμήματος Μαθηματικών
μ (Αντικατάσταση κειμένου - «Σύστημα Διαχείρισης Μάθησης» σε «Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης»)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
 
(8 ενδιάμεσες αναθεωρήσεις από τον ίδιο χρήστη δεν εμφανίζεται)
Γραμμή 1: Γραμμή 1:
[[Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων]] - [https://math.uoi.gr Τμήμα Μαθηματικών]
* [[Differential Topology (ΓΕ4)|English version]]
{{Course-Graduate-Top-GR}}
{{Menu-OnAllPages-GR}}


=== Γενικά ===
=== Γενικά ===
Γραμμή 30: Γραμμή 32:
|-
|-
! Προαπαιτούμενα Μαθήματα
! Προαπαιτούμενα Μαθήματα
| ΓΕ5 Αλγεβρική Τοπολογία I, Διαφορική Γεωμετρία (ΓΕ2)
| -
|-
|-
! Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
! Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
Γραμμή 39: Γραμμή 41:
|-
|-
! Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
! Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
| Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], το Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
| Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|}
|}


Γραμμή 47: Γραμμή 49:
|-
|-
! Μαθησιακά Αποτελέσματα
! Μαθησιακά Αποτελέσματα
| H γέννηση της διαφορικής τοπολογίας έγινε από τους G. De Rham και E. Cartan. Συνήθως με την ύπαρξη μιας πολλαπλότητας-πολυπτύγματος υπάρχει και μια έξτρα δομή όπως π.χ. η μετρική Riemann. Στον κλάδο της Διαφορικής τοπολογίας η πολλαπλότητα-πολύπτυγμα μελετάται χωρίς να λαμβάνεται υπόψιν η έξτρα δομή. Οι συνήθεις ερωτήσεις που απαντώνται σε ένα εισαγωγικό μάθημα διαφορικής τοπολογίας είναι: Αν δύο πολλαπλότητες-πολυπτύγματα είναι ομοιομορφικά είναι και διαφορομορφικά; Μπορεί μια πολλαπλότητα-πολύπτυγμα να εμβαπτιστεί σε μία άλλη; Είναι σύνορο κάποιας άλλης; Δέχεται δράση ομάδας; Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση εφαρμογών της Αλγεβρικής Τοπολογίας και Διαφορικής Γεωμετρίας στη μελέτη τοπολογικών αναλλοιώτων διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων-πολυπτυγμάτων. Μία από τις ισχυρότερες συνδέσεις μεταξύ αλγεβρικής και διαφορικής τοπολογίας είναι οι εφαπτόμενες δέσμες και αυτές αποτελούν κάποιες από τις βαθύτερες αναλλοίωτους για τους διαφορομορφισμούς. Η κατεύθυνση αυτή συνδέει τη θεωρία ομοτοπίας με την ομάδα των διαφορομορφισμών μιας πολλαπλότητας-πολυπτύγματος. Έμφαση δίνεται στη θεωρία των κρίσιμων σημείων του Morse και στο θεώρημα Morse-Sard. Επίσης, θα δοθούν διάφορες εφαρμογές στη θεωρία υποπολυπτυγμάτων. Στο τέλος του μαθήματος, ο μεταπτυχιακός φοιτητής θα είναι σε θέση να μελετάει νέα ερευνητικά άρθρα που θα του είναι απαραίτητα για την εκπόνηση μεταπτυχιακής ή διδακτορικής διατριβής.
|
Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση εφαρμογών της Αλγεβρικής Τοπολογίας και Διαφορικής Γεωμετρίας στη μελέτη τοπολογικών αναλλοιώτων διαφορίσιμων πολυπτυγμάτων. Στο μάθημα, θα παρουσιαστούν διάφορες εφαρμογές στη θεωρία υποπολυπτυγμάτων. Στο τέλος του μαθήματος, ο μεταπτυχιακός φοιτητής θα είναι σε θέση να μελετάει νέα ερευνητικά άρθρα που θα του είναι απαραίτητα για την εκπόνηση μεταπτυχιακής ή διδακτορικής διατριβής.
|-
|-
! Γενικές Ικανότητες
! Γενικές Ικανότητες
|
|
* Η μετάβαση και ευχέρεια κατανόησης δύσκολων μαθηματικών αποδείξεων.
Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο μεταπτυχιακός φοιτητής να αποκτήσει ειδικές γνώσεις στη Θεωρία Morse και στη Διαφορική Τοπολογία.
* Αυτόνομη εργασία ώστε να έχουν την ευκαιρία να βελτιώσουν την ικανότητά τους για συγγραφή ατομικών μαθηματικών κειμένων στη περιοχή της διαφορικής τοπολογίας.
* Παροχή ανώτερων γνώσεων ώστε να μπορούν να κατανοήσουν - αναλύσουν προχωρημένα γεωμετρικά προβλήματα.  
|}
|}


=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===
=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===


* Ομολογία και συνομολογία.
* Πολυπτύγματα.
* Διανυσματικές δέσμες.
* Εμβαπτίσεις, εμφυτεύσεις και υποεμβαπτίσεις.
* Βαθμός απεικόνισης, Χαρακτηριστική Euler.
* Η απόδειξη του Milnor για το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας.  
* Αριθμοί Betti.
* Το θεώρημα του Sard και συναρτήσεις Morse.
* Συγκόλληση πολυπτυγμάτων.
* Διαμερισμός μονάδας και το θεώρημα Whitney.
* Συνορισμός, ο ομομορφισμός του Thom.
* Ομοτοπία και ισοτοπία.
* Συναρτήσεις Morse.
* Βαθμός Brouwer.
* Το θεώρημα των Morse - Sard.
* Το θεώρημα προσέγγισης του Whitney.
* Περνώντας από κρίσιμες τιμές.
* Διαφορικές μορφές και ολοκλήρωση.
* Προσάρτηση χειρολαβών.
* Η αναλλοίωτος του Hopf.
* Κυτταρική διάσπαση πολυπτυγμάτων.
* Θεώρημα βαθμού του Hopf.
* Το θεώρημα του Reeb.
* Ανισότητες Morse.
* Ολική καμπυλότητα και απεικόνιση Gauss.


=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
Γραμμή 81: Γραμμή 79:
|-
|-
! Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
! Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|.
| -
|-
|-
! Οργάνωση Διδασκαλίας
! Οργάνωση Διδασκαλίας

Τελευταία αναθεώρηση της 12:02, 15 Ιουνίου 2023

Γενικά

Σχολή Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος ΓΕ4
Εξάμηνο 2
Τίτλος Μαθήματος ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος Ειδικού Υπόβαθρου Υπόβαθρου, Ανάπτυξης ιδιαίτερων Δεξιοτήτων στην τοπολογία - γεωμετρία - άλγεβρα
Προαπαιτούμενα Μαθήματα -
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση εφαρμογών της Αλγεβρικής Τοπολογίας και Διαφορικής Γεωμετρίας στη μελέτη τοπολογικών αναλλοιώτων διαφορίσιμων πολυπτυγμάτων. Στο μάθημα, θα παρουσιαστούν διάφορες εφαρμογές στη θεωρία υποπολυπτυγμάτων. Στο τέλος του μαθήματος, ο μεταπτυχιακός φοιτητής θα είναι σε θέση να μελετάει νέα ερευνητικά άρθρα που θα του είναι απαραίτητα για την εκπόνηση μεταπτυχιακής ή διδακτορικής διατριβής.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο μεταπτυχιακός φοιτητής να αποκτήσει ειδικές γνώσεις στη Θεωρία Morse και στη Διαφορική Τοπολογία.

Περιεχόμενο Μαθήματος

  • Πολυπτύγματα.
  • Εμβαπτίσεις, εμφυτεύσεις και υποεμβαπτίσεις.
  • Η απόδειξη του Milnor για το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας.
  • Το θεώρημα του Sard και συναρτήσεις Morse.
  • Διαμερισμός μονάδας και το θεώρημα Whitney.
  • Ομοτοπία και ισοτοπία.
  • Βαθμός Brouwer.
  • Το θεώρημα προσέγγισης του Whitney.
  • Διαφορικές μορφές και ολοκλήρωση.
  • Η αναλλοίωτος του Hopf.
  • Θεώρημα βαθμού του Hopf.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών -
Οργάνωση Διδασκαλίας
Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις 39
Αυτοτελής Μελέτη 78
Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες 70.5
Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

  • T. Bröcker, K. Jänich, Introduction to differential topology, Cambridge Univ. Press, 1982.
  • V. Guillemin and A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, 1974.
  • J. Milnor, Morse Theory, Annals of Mathematical Studies, 51. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
  • J. Milnor, Topology from a differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville, Va. 1965.
Ανακτήθηκε από «https://wiki.math.uoi.gr/index.php?title=Διαφορική_Τοπολογία_(ΓΕ4)&oldid=4481»