Wiki Τμήματος Μαθηματικών
Εφαρμοσμένη Άλγεβρα (ΑΛ3): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα (ΑΛ3): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Από Wiki Τμήματος Μαθηματικών
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
 
(5 ενδιάμεσες αναθεωρήσεις από τον ίδιο χρήστη δεν εμφανίζεται)
Γραμμή 1: Γραμμή 1:
* [[Applied Algebra (ΑΛ3)|English version]]
* [[Applied Algebra (ΑΛ3)|English version]]
* [[Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων]]
{{Course-Graduate-Top-GR}}
* [https://math.uoi.gr Τμήμα Μαθηματικών]
{{Menu-OnAllPages-GR}}


=== Γενικά ===
=== Γενικά ===
Γραμμή 49: Γραμμή 49:
|-
|-
! Μαθησιακά Αποτελέσματα
! Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στα κυριότερα εργαλεία και τις μεθόδους της θεωρίας πολυωνύμων υπεράνω πεπερασμένων σωμάτων με τις εφαρμογές της στην Αλγεβρική Κρυπτογραφία και Κωδικοποίηση με χρήση μεθόδων από τη θεωρία αλγεβρικών, ιδιαίτερα ελλειπτικών, καμπύλων. Επιπρόσθετα δίνονται εφαρμογές σε διάφορες περιοχές των Μαθηματικών και άλλων επιστημών. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα σε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών και συναφών επιστημών, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων σε διάφορα πεδία, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς για την κατασκευή και ανάλυση αλγεβρικών κωδίκων και κρυπτογραφικών μηνυμάτων.  
| Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στα κυριότερα εργαλεία και τις μεθόδους της θεωρίας Πολυωνύμων Πολλών Μεταβλητών υπεράνω σωμάτων και στις εφαρμογές τους στη Θεωρία Απαλοιφής, την Προβολική Αλγεβρική Γεωμετρία, τη Ρομποτική, τη Θεωρία Αναλλοίωτων Πεπερασμένων Ομάδων και την Αυτόματη Απόδειξη Γεωμετρικών Θεωρημάτων. Επιπρόσθετα, θα δωθεί μια εισαγωγή στο πρόγραμμα Συμβολικής Άλγεβρας Macaulay2. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα σε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών και συναφών επιστημών, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων σε διάφορα πεδία, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς για την κατασκευή και ανάλυση ιδεωδών Πολυωνυμικών Δακτυλίων.
|-
|-
! Γενικές Ικανότητες
! Γενικές Ικανότητες
| Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο πτυχιούχος να αποκτήσει την ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Πεπερασμένων Σωμάτων και της Θεωρίας Πολυωνύμων υπεράνω πεπερασμένων σωμάτων, η οποία αποτελεί ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης Άλγεβρας, με σκοπό την ανάλυση και εφαρμογή στη θεωρία κωδίκων και στη σύγχρονη κρυπτογραφία. Ειδικότερα στο μάθημα αναλύεται η βασική θεωρία (γραμμικών και κυκλικών) κωδίκων, η βασική θεωρία ελλειπτικών καμπύλων, και οι εφαρμογές της στην κρυπτογραφία. Ερχόμενος ο πτυχιούχος για πρώτη φορά σε επαφή με έννοιες της Θεωρίας πεπερασμένων σωμάτων, της θεωρίας κωδίκων και της σύγχρονης κρυπτογραφίας με χρήση ελλειπτικών καμπύλων, προάγεται η δημιουργική, αναλυτική και επαγωγική σκέψη του, και η ικανότητά του να εφαρμόζει αφηρημένες γνώσεις σε διάφορα πεδία τα οποία αποτελούν θέματα αιχμής σε διάφορα επιστημονικά πεδία με άμεσες εφαρμογές στη σύγχρονη ζωή.
| Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο μεταπτυχιακός φοιτητής να αποκτήσει την ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Πολυωνύμων Πολλών Μεταβλητών υπεράνω σωμάτων, η οποία αποτελεί ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης Άλγεβρας, με σκοπό την ανάλυση και εφαρμογή στην Αλγεβρική Γεωμετρία, την Θεωρία Αναλλοιώτων Πεπερασμένων Ομάδων, στη Θεωρία Απαλοιφής και αλλού. Ειδικότερα, στο μάθημα αναλύεται η βασική υπολογιστική θεωρία των Βάσεων Groebner, και η βασική θεωρία της Προβολικής Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Ερχόμενος ο μεταπτυχιακός φοιτητής για πρώτη φορά σε επαφή με θεωρητικές και υπολογιστικές έννοιες της Θεωρίας Πολυωνύμων Πολλών Μεταβλητών υπεράνω σωμάτων, προάγεται η δημιουργική, αναλυτική και επαγωγική σκέψη του, και η ικανότητά του να συνδιάζει αφηρημένες γνώσεις και υπολογιστικές τεχνικές σε διάφορα πεδία εφαρμογών.
|}
|}


=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===
=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===


* Πεπερασμένα Σώματα και Πολυώνυμα.
* Πολυωνυμικοί Δακτύλιοι επί Σωμάτων
* Δακτύλιοι, Ιδεώδη,  Ομομορφισμοί, Πολυώνυμα, Σώματα, Αλγεβρικές Επεκτάσεις.
* Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Συμβολικής Άλγεβρας Macaulay2
* Πεπερασμένα Σώματα, Ανάγωγα Πολυώνυμα υπεράνω πεπερασμένων σωμάτων, Παραγοντοποίηση πολυωνύμων υπεράνω πεπερασμένων σωμάτων.
* Βάσεις Groebner
* Υπενθυμίσεις από τη στοιχειώδη Θεωρία Αριθμών.
* Θεωρία απαλοιφής
* Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα. Γραμμικοί και κυκλικοί κώδικες.
* Επιλεγμένα Στοιχεία Αλγεβρικής Γεωμετρίας
* Αλγεβρική κρυπτογραφία.
* Αυτόματη Απόδειξη Γεωμετρικών Θεωρημάτων
* Βασικά στοιχεία από τη θεωρία αλγεβρικών καμπυλών.
* Εφαρμογές στη Θεωρία Αναλλοίωτων Πεπερασμένων Ομάδων
* Ελλειπτικές καμπύλες.
* Εφαρμογές στην Προβολική Αλγεβρική Γεωμετρία
* Εφαρμογές της θεωρίας ελλειπτικών καμπυλών στην κρυπτογραφία.
* Εφαρμογές στη Ρομποτική


=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
Γραμμή 85: Γραμμή 85:
| Διαλέξεις
| Διαλέξεις
| 39
| 39
|-
| Μελέτη της θεωρίας  
| Μελέτη της θεωρίας  
| 78
| 78

Τελευταία αναθεώρηση της 10:02, 10 Νοεμβρίου 2025

Γενικά

Σχολή Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος ΑΛ3
Εξάμηνο 2
Τίτλος Μαθήματος ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος Γενικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στα κυριότερα εργαλεία και τις μεθόδους της θεωρίας Πολυωνύμων Πολλών Μεταβλητών υπεράνω σωμάτων και στις εφαρμογές τους στη Θεωρία Απαλοιφής, την Προβολική Αλγεβρική Γεωμετρία, τη Ρομποτική, τη Θεωρία Αναλλοίωτων Πεπερασμένων Ομάδων και την Αυτόματη Απόδειξη Γεωμετρικών Θεωρημάτων. Επιπρόσθετα, θα δωθεί μια εισαγωγή στο πρόγραμμα Συμβολικής Άλγεβρας Macaulay2. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα σε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών και συναφών επιστημών, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων σε διάφορα πεδία, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς για την κατασκευή και ανάλυση ιδεωδών Πολυωνυμικών Δακτυλίων.
Γενικές Ικανότητες Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο μεταπτυχιακός φοιτητής να αποκτήσει την ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Πολυωνύμων Πολλών Μεταβλητών υπεράνω σωμάτων, η οποία αποτελεί ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης Άλγεβρας, με σκοπό την ανάλυση και εφαρμογή στην Αλγεβρική Γεωμετρία, την Θεωρία Αναλλοιώτων Πεπερασμένων Ομάδων, στη Θεωρία Απαλοιφής και αλλού. Ειδικότερα, στο μάθημα αναλύεται η βασική υπολογιστική θεωρία των Βάσεων Groebner, και η βασική θεωρία της Προβολικής Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Ερχόμενος ο μεταπτυχιακός φοιτητής για πρώτη φορά σε επαφή με θεωρητικές και υπολογιστικές έννοιες της Θεωρίας Πολυωνύμων Πολλών Μεταβλητών υπεράνω σωμάτων, προάγεται η δημιουργική, αναλυτική και επαγωγική σκέψη του, και η ικανότητά του να συνδιάζει αφηρημένες γνώσεις και υπολογιστικές τεχνικές σε διάφορα πεδία εφαρμογών.

Περιεχόμενο Μαθήματος

  • Πολυωνυμικοί Δακτύλιοι επί Σωμάτων
  • Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Συμβολικής Άλγεβρας Macaulay2
  • Βάσεις Groebner
  • Θεωρία απαλοιφής
  • Επιλεγμένα Στοιχεία Αλγεβρικής Γεωμετρίας
  • Αυτόματη Απόδειξη Γεωμετρικών Θεωρημάτων
  • Εφαρμογές στη Θεωρία Αναλλοίωτων Πεπερασμένων Ομάδων
  • Εφαρμογές στην Προβολική Αλγεβρική Γεωμετρία
  • Εφαρμογές στη Ρομποτική

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας
Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις 39
Μελέτη της θεωρίας 78
Επίλυση ασκήσεων 70.5
Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών Η αξιολόγηση βασίζεται συνδυαστικά στις επιδόσεις του μεταπτυχιακού φοιτητή σε:
  • Εβδομαδιαίες εργασίες,
  • Παρουσιάσεις κατά τη διάρκεια του εξαμήνου,
  • Εργασία στο τέλος του μαθήματος,
  • Γραπτή εξέταση στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

  • Χαραλάμπους, Χ., & Παπαδάκης, Σ. 2023. Εισαγωγή στην Αντιμεταθετική Άλγεβρα. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. https://repository.kallipos.gr/handle/11419/9536?&locale=el .
  • Cox, David A.; Little, John; O’Shea, Donal. 2015. Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. 4th revised ed. Springer.
  • Schenck, Hal. 2003. Computational algebraic geometry. Cambridge University Press.
Ανακτήθηκε από «https://wiki.math.uoi.gr/index.php?title=Εφαρμοσμένη_Άλγεβρα_(ΑΛ3)&oldid=5377»