Άλγεβρα II (ΑΛ2): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Από Wiki Τμήματος Μαθηματικών
μ (Αντικατάσταση κειμένου - «Σύστημα Διαχείρισης Μάθησης» σε «Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης»)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
 
(6 ενδιάμεσες αναθεωρήσεις από τον ίδιο χρήστη δεν εμφανίζεται)
Γραμμή 1: Γραμμή 1:
[[Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων]] - [https://math.uoi.gr Τμήμα Μαθηματικών]
* [[Algebra II (ΑΛ2)|English version]]
{{Course-Graduate-Top-GR}}
{{Menu-OnAllPages-GR}}


=== Γενικά ===
=== Γενικά ===
Γραμμή 39: Γραμμή 41:
|-
|-
! Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
! Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
| Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], το Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
| Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|}
|}


Γραμμή 47: Γραμμή 49:
|-
|-
! Μαθησιακά Αποτελέσματα
! Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στα κυριότερα εργαλεία και τις μεθόδους της Μεταθετικής Άλγεβρας, και στις άμεσες εφαρμογές της σε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών, με περισσότερο αξιοσημείωτο τον κλάδο της Αλγεβρικής Γεωμετρίας, και σε συναφείς επιστήμες. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα αλγεβρικής και γεωμετρικής προέλευσης, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων σε διάφορα πεδία, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.
|
Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στις κυριότερες έννοιες,  εργαλεία και μεθόδους της Θεωρίας Αναπαραστάσεων Ομάδων με τις εφαρμογές της σε άλλους κλάδους των Μαθηματικών, ιδιαίτερα στη Θεωρία Ομάδων, και σε συναφείς επιστήμες, για παράδειγμα στη Φυσική. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα προερχόμενα από διαφορετικούς κλάδους των Μαθηματικών και άλλων επιστημών,  να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων σε διάφορα πεδία, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς οι οποίοι σχετίζονται με προβλήματα της θεωρίας ομάδων.
|-
|-
! Γενικές Ικανότητες
! Γενικές Ικανότητες
| Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο πτυχιούχος να αποκτήσει την ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Μεταθετικής Άλγεβρας, η οποία αποτελεί ένα σημαντικό μέρος των σύγχρονων Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας. Ερχόμενος ο πτυχιούχος για πρώτη φορά σε επαφή με έννοιες της Μεταθετικής Άλγεβρας και των εφαρμογών της στην Αλγεβρική Γεωμετρία, προάγεται η δημιουργική, αναλυτική και επαγωγική σκέψη του, και η ικανότητά του να εφαρμόζει αφηρημένες γνώσεις σε διάφορες περιοχές συναφών επιστημών.
|
Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο πτυχιούχος να αποκτήσει ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Αναπαραστάσεων Ομάδων, η οποία αποτελεί ένα σημαντικό κλάδο των σύγχρονων Μαθηματικών, ιδιαίτερα της Άλγεβρας, και η οποία έχει πολλές εφαρμογές σε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών και άλλων επιστημών, για παράδειγμα στη Φυσική. Ερχόμενος ο πτυχιούχος για πρώτη φορά σε επαφή με έννοιες της Θεωρίας Αναπαραστάσεων Ομάδων, προάγεται η δημιουργική, αναλυτική και επαγωγική σκέψη του, και η ικανότητά του να εφαρμόζει αφηρημένες γνώσεις σε διάφορα πεδία τα οποία αποτελούν θέματα αιχμής σε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών και συναφών επιστημών.  
|}
|}


=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===
=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===


* Στοιχεία Αλγεβρικής Γεωμετρίας.
* Αναπαραστάσεις και Χαρακτήρες Ομάδων.  
* Διάσταση.
* Ομάδες και Ομομορφισμοί.
* Θεώρημα κυρίων ιδεωδών του Krull.  
* FG-πρότυπα και Ομαδο-άλγεβρες.
* Κανονικές ακολουθίες.
* Το Λήμμα του Schur και το θεώρημα  του Maschke.  
* Βάθος.
* Ομαδο-άλγεβρες και ανάγωγα πρότυπα.
* Δακτύλιοι Cohen-Macaulay.
* Κλάσεις συζυγίας και χαρακτήρες.
* Δακτύλιοι Gorenstein.
* Πίνακες χαρακτήρων και σχέσεις ορθογωνιότητας.
* Ελεύθερες επιλύσεις προτύπων.  
* Κανονικές υποομάδες και ανυψωμένοι χαρακτήρες.  
* Συναρτήσεις του Hilbert.  
* Παραδείγματα  στοιχειωδών πινάκων χαρακτήρων.
* Τανυστικά γινόμενα.  Περιορίζοντας αναπαραστάσεις σε υποομάδες.  
* Εφαρμογές.


=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===

Τελευταία αναθεώρηση της 12:02, 15 Ιουνίου 2023

Γενικά

Σχολή Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος ΑΛ2
Εξάμηνο 2
Τίτλος Μαθήματος ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος Γενικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στις κυριότερες έννοιες, εργαλεία και μεθόδους της Θεωρίας Αναπαραστάσεων Ομάδων με τις εφαρμογές της σε άλλους κλάδους των Μαθηματικών, ιδιαίτερα στη Θεωρία Ομάδων, και σε συναφείς επιστήμες, για παράδειγμα στη Φυσική. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα προερχόμενα από διαφορετικούς κλάδους των Μαθηματικών και άλλων επιστημών,  να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων σε διάφορα πεδία, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς οι οποίοι σχετίζονται με προβλήματα της θεωρίας ομάδων.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο πτυχιούχος να αποκτήσει ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Αναπαραστάσεων Ομάδων, η οποία αποτελεί ένα σημαντικό κλάδο των σύγχρονων Μαθηματικών, ιδιαίτερα της Άλγεβρας, και η οποία έχει πολλές εφαρμογές σε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών και άλλων επιστημών, για παράδειγμα στη Φυσική. Ερχόμενος ο πτυχιούχος για πρώτη φορά σε επαφή με έννοιες της Θεωρίας Αναπαραστάσεων Ομάδων, προάγεται η δημιουργική, αναλυτική και επαγωγική σκέψη του, και η ικανότητά του να εφαρμόζει αφηρημένες γνώσεις σε διάφορα πεδία τα οποία αποτελούν θέματα αιχμής σε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών και συναφών επιστημών.

Περιεχόμενο Μαθήματος

  • Αναπαραστάσεις και Χαρακτήρες Ομάδων.
  • Ομάδες και Ομομορφισμοί.
  • FG-πρότυπα και Ομαδο-άλγεβρες.
  • Το Λήμμα του Schur και το θεώρημα του Maschke.
  • Ομαδο-άλγεβρες και ανάγωγα πρότυπα.
  • Κλάσεις συζυγίας και χαρακτήρες.
  • Πίνακες χαρακτήρων και σχέσεις ορθογωνιότητας.
  • Κανονικές υποομάδες και ανυψωμένοι χαρακτήρες.
  • Παραδείγματα στοιχειωδών πινάκων χαρακτήρων.
  • Τανυστικά γινόμενα. Περιορίζοντας αναπαραστάσεις σε υποομάδες.
  • Εφαρμογές.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας
Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις 39
Μελέτη της θεωρίας 78
Επίλυση ασκήσεων 70.5
Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών Η αξιολόγηση βασίζεται συνδυαστικά στις επιδόσεις του μεταπτυχιακού φοιτητή σε:
  • Εβδομαδιαίες εργασίες,
  • Παρουσιάσεις κατά τη διάρκεια του εξαμήνου,
  • Εργασία στο τέλος του μαθήματος,
  • Γραπτή εξέταση στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

  • J.P. Serre: “Linear Representations of Finite Groups”, Springer-Verlag, (1977).
  • B. Steinberg: “Representation Theory of Finite Groups: An Introductory Approach”, Springer, (2012).
  • C.W. Curtis and V. Reiner: “Methods of Representation Theory: With Applications to Finite Groups and Orders”, Wiley, (1981).
  • P. Etingof et al: “Introduction to Representation Theory”, Student Mathematical Library 59, AMS, (2011).
  • J.L. Alperin and R.B. Bell: “Groups and Representations”, Springer (1995).
  • M. Burrow: “Representation Theory of Finite Groups”, Academic Press, (1965).
  • M. Liebeck and G. James: “Representations and Characters of Groups”, CUP, (2001).