Θέματα Πτυχιακής Εργασίας 2023-2024: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Από Wiki Τμήματος Μαθηματικών
(Νέα σελίδα με '== Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης == ==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-57 Σταματάκης Μάριος-Γεώργιος] ==== ; Η αρχή των μεγάλων αποκλίσεων : (περιγραφή) ; Το πρόβλημα βέλτιστης μεταφοράς μάζας : (περιγραφή) ; Μετρική Γεωμετρία : (περιγραφή) == Τομέας...') |
|||
| (52 ενδιάμεσες αναθεωρήσεις από τον ίδιο χρήστη δεν εμφανίζεται) | |||
| Γραμμή 1: | Γραμμή 1: | ||
Παρακαλούμε, δείτε τον [[Κανονισμός Εκπόνησης Πτυχιακής Εργασίας|Κανονισμό Εκπόνησης Πτυχιακής Εργασίας]] '''πριν''' επιλέξετε θέμα και '''πριν''' έρθετε σε επαφή με τον διδάσκοντα. Ο [[Κανονισμός Εκπόνησης Πτυχιακής Εργασίας]] περιλαμβάνει προϋποθέσεις, διαδικασίες και προβλέψεις τις οποίες πρέπει να γνωρίζετε '''πριν''' κάνετε οποιαδήποτε περαιτέρω ενέργεια. | |||
== Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης == | == Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης == | ||
==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02- | ==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-40 Γιαννούλης Ιωάννης] (Αναπληρωτής Καθηγητής) ==== | ||
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής. | |||
; Κλασικές λύσεις γραμμικών ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης (Θεωρία Schauder). | |||
: '''Συνιστώμενες γνώσεις''': Απειροστικός Λογισμός I-IV, Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. | |||
: Το θέμα της διατριβής αφορά ένα κλασικό πλέον τμήμα της Θεωρίας των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, δηλαδή την ύπαρξη, μοναδικότητα και λειότητα κλασικών λύσεων προβλημάτων συνοριακών τιμών Dirichlet σε φραγμένα υποσύνολα του \(R^n\) για γραμμικές ελλειπτικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Το κύριο ζητούμενο είναι η θεμελίωση όσο το δυνατόν ασθενέστερων υποθέσεων λειότητας στα δεδομένα του προβλήματος και ειδικότερα στους συντελεστές της εξίσωσης, κάτω από τις οποίες μπορεί κανείς να εγγυηθεί την ύπαρξη κλασικών λύσεων. Διαπιστώνεται ότι για να συμβεί αυτό εν γένει, οι συντελεστές της εξίσωσης πρέπει να είναι τουλάχιστον Holder συνεχείς συναρτήσεις, υπό την έννοια ότι μόνο η συνέχειά τους δεν επαρκεί. Το κομμάτι αυτό της θεωρίας των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων ονομάζεται Θεωρία Schauder και αποτελεί τη βάση για τη θεμελίωση πολλών αποτελεσμάτων της σύγχρονης θεωρίας μη γραμμικών κυρίως ελλειπτικών εξισώσεων δεύτερης τάξης αλλά μέσω αυτών και μη γραμμικών εξισώσεων παραβολικού και υπερβολικού τύπου. Ο πυρήνας της πτυχιακής διατριβής βασίζεται στο Κεφάλαιο 6 (για συνοριακές συνθήκες Dirichlet) του κλασικού έργου D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001. Το Κεφάλαιο 6 στηρίζεται με τη σειρά του στα Κεφάλαια 2 έως 4, καθώς και σε βασικά στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης, όπως αυτά αποδεικνύονται στο Κεφάλαιο 5. Αρκετά από τα αποτελέσματα των Κεφαλαίων 2 έως 4 έχουν διδαχθεί στο προπτυχιακό μάθημα επιλογής Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, στη βάση της Ενότητας 2.2 του βιβλίου L.C. Evans, Partial Differential Equations. Second Edition, AMS, 2010. | |||
==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-48 Μαυρίδης Κυριάκος] (Λέκτορας) ==== | |||
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής. | |||
; Απόλυτα Συνεχείς Συναρτήσεις (Absolutely Continuous Functions) | |||
: '''Συνιστώμενες γνώσεις''': Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση. | |||
: Οι απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις είναι ακριβώς εκείνες οι σχεδόν παντού παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού. Κάθε απόλυτα συνεχής συνάρτηση είναι και συνεχής, αλλά το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Η έννοια της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης σχετίζεται με την έννοια του απόλυτα συνεχούς μέτρου, αλλά αυτές οι δύο έννοιες είναι διακριτές. Δείτε την [https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute%20continuity Wikipedia] και την [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Absolute%20continuity EncyclopediaOfMath] για να αποκτήσετε μια πρώτη εικόνα για το αντικείμενο. Το αντικείμενο της εργασίας είναι: (1) η παρουσίαση της έννοιας της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης, (2) η ανάλυση της χρησιμότητας της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης, (3) η πλήρης ανάπτυξη της σχέσης της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης με τις έννοιες της συνέχειας, της ομοιόμορφης συνέχειας, της συνεχούς διαφορισιμότητας, της κατά Lipchitz συνέχειας, της φραγμένης μεταβολής και της διαφορισιμότητας σχεδόν παντού, (4) η ανάπτυξη των βασικών ιδιοτήτων των απόλυτα συνεχών συναρτήσεων, και (5) η όχι εκτεταμένη παρουσίαση της σχέσης της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης με την έννοια του απόλυτα συνεχούς μέτρου. Βιβλία Πραγματικής Ανάλυσης, Συναρτησιακής Ανάλυσης, Θεωρίας Μέτρου, καθώς και εισαγωγικών γνώσεων του αντικειμένου της Μαθηματικής Ανάλυσης, είναι αρκετά πιθανό να περιέχουν σε μικρό ή μεγάλο βαθμό υλικό που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αυτή την εργασία. Ενδεικτική βιβλιογραφία: (1) Bruckner, Bruckner and Thomson, "[http://classicalrealanalysis.info/Real-Analysis.php Real Analysis]", (2) Hewitt and Stromberg, "[https://doi.org/10.1007/978-3-662-29794-0 Real and abstract analysis]", και (3) Royden, "[https://www.pearson.com/en-us/subject-catalog/p/real-analysis-classic-version/P200000006336/9780134689494?tab=table-of-contents Real Analysis]". | |||
; Θεωρήματα Σταθερού Σημείου σε Ασθενή Τοπολογία (Fixed Point Theory under Weak Topology) | |||
: '''Συνιστώμενες γνώσεις''': Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση. | |||
: Το αντικείμενο αυτής της εργασίας ταυτίζεται με την ανάπτυξη του ομότιτλου κεφαλαίου του βιβλίου των Jeribi και Krichen [https://doi.org/10.1201/b18790 Nonlinear Functional Analysis in Banach Spaces], καθώς και με εφαρμογές των θεωρητικών αποτελεσμάτων που αυτό περιλαμβάνει. Για την επαρκή ανάπτυξη του αντικειμένου είναι εύλογο να χρησιμοποιηθούν και άλλα κεφάλαια του συγκεκριμένου βιβλίου ή άλλες πηγές. Το εν λόγω κεφάλαιο αναπτύσσει θεωρήματα σταθερού σημείου σε χώρους εφοδιασμένους με ασθενείς τοπολογίες. Άλλα κεφάλαια του βιβλίου παρουσιάζουν εφαρμογές αυτών των θεωρημάτων. Καθώς το αντικείμενο δύναται να ευνοεί την εκτεταμένη ανάπτυξη, είναι σημαντικό να γίνει λελογισμένη επιλογή της ύλης που θα παρουσιαστεί στην εργασία και να μην υπάρχει υπέρμετρη απόκλιση από τα πλαίσια του συγκεκριμένου βιβλίου. | |||
; Κλασματικός Λογισμός (Fractional Calculus) | |||
: '''Συνιστώμενες γνώσεις''': Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση. | |||
: Ο Κλασματικός Λογισμός αποτελεί μια επέκταση του κλασικού Απειροστικού Λογισμού, σε παραγώγους και ολοκληρώματα των οποίων η τάξη δεν είναι αναγκαστικά φυσικός αριθμός. Ο τρόπος ορισμού τέτοιων παραγώγων και ολοκληρωμάτων δεν είναι αναγκαστικά μοναδικός, με συνέπεια να υφίστανται διάφορες εκδοχές τέτοιων επεκτάσεων. Δείτε την [https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional%20calculus Wikipedia] και την [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fractional%20integration%20and%20differentiation EncyclopediaOfMath] για να αποκτήσετε μια πρώτη εικόνα για το αντικείμενο. Το αντικείμενο της εργασίας είναι: (1) η παρουσίαση της έννοιας του κλασματικού ολοκληρώματος και της κλασματικής παραγώγου, (2) η παρουσίαση των διαφόρων εκδοχών κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (3) η επεξήγηση της σχέσης των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων με τα συνήθη ανάλογα τους, (4) η παρουσίαση των βασικών ιδιοτήτων των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (5) η ενδεικτική παρουσίαση πρακτικών εφαρμογών των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (6) η ειδική αναφορά σε διαφορικές εξισώσεις που περιλαμβάνουν κλασματικά ολοκληρώματα και παραγώγους και στους τρόπους μελέτης αυτών. Υπάρχει πληθώρα βιβλίων με αποκλειστικό περιεχόμενο τέτοιου είδους ολοκληρώματα και παραγώγους. Ενδεικτική βιβλιογραφία: (1) Das, "[https://doi.org/10.1007/978-3-642-20545-3 Functional Fractional Calculus]", (2) Podlubny, "[https://shop.elsevier.com/books/fractional-differential-equations/podlubny/978-0-12-558840-9 Fractional Differential Equations]". Καθώς το αντικείμενο δύναται να ευνοεί την εκτεταμένη ανάπτυξη, είναι σημαντικό να γίνει λελογισμένη επιλογή της ύλης που θα παρουσιαστεί στην εργασία. | |||
; | ==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-57 Σταματάκης Μάριος-Γεώργιος] (Eπίκουρος Kαθηγητής) ==== | ||
: | |||
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής. | |||
; Αρχή των μεγάλων αποκλίσεων | |||
: '''Συνιστώμενες γνώσεις''': Θεωρία Μέτρου. | |||
: Ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι από τα κεντρικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Μέσω αυτού αναδύεται η στατιστική κανονικότητα από την αβεβαιότητα των τυχαίων φαινομένων. Έτσι ένα σημαντικό ερώτημα είναι το πόσο γρήγορα αρχίζει να ισχύει ο νόμος των μεγάλων αριθμών. Π.χ. γνωρίζουμε ότι αν ρίξουμε ένα αμερόληπτο κέρμα αρκετές φορές, τότε η σχετική συχνότητα εμφάνισης κορώνας είναι περίπου 1/2. Όμως πόσες φορές πρέπει να ρίξουμε ένα κέρμα ώστε η σχετική συχνότητα εμφάνισης κορώνας να πλησιάσει το 1/2 κατά μία δεδομένη απόκλιση, π.χ. χιλιοστού; Η απάντηση ερωτημάτων αυτού του τύπου είναι το αντικείμενο της θεωρίας των μεγάλων αποκλίσεων. Στην εργασία αυτή θα μελετήσουμε τις βασικές αρχές της θεωρίας των μεγάλων αποκλίσεων και θα δούμε εφαρμογές στα μαθηματικά και τη στατιστική φυσική. | |||
; Το πρόβλημα βέλτιστης μεταφοράς μάζας | ; Το πρόβλημα βέλτιστης μεταφοράς μάζας | ||
: ( | : '''Συνιστώμενες γνώσεις''': Θεωρία Μέτρου. | ||
: Το πρόβλημα βέλτιστης μεταφοράς μάζας διατυπώθηκε αρχικά από τον Monge το 1781: Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να μεταφέρουμε μία ποσότητα μάζας σε μία αποθήκη και ότι για να μεταφέρουμε μία μονάδα μάζας από τη θέση \(x\) στη θέση \(y\) της αποθήκης πρέπει να πληρώσουμε ένα κόστος \(c(x,y)\). Πώς πρέπει να μεταφέρουμε τη μάζα ώστε να πληρώσουμε συνολικά το μικρότερο δυνατό κόστος; Το πρόβλημα παρέμεινε σε μεγάλο βαθμό άλυτο έως το 1942 όπου διατυπώθηκε από τον Kantorovich σε κατάλληλα ασθενή μορφή. Στην ειδική περίπτωση όπου το κόστος που πληρώνουμε είναι κάποια δύναμη της απόστασης των σημείων \(x\) και \(y\), το συνολικό κόστος ορίζει μετρική στο σύνολο των κατανομών δεδομένης μάζας. Από το 2000 και έπειτα έχει γίνει φανερό ότι οι μετρικές αυτές καθώς και η γεωμετρία της βέλτιστης μεταφοράς μάζας έχουν εφαρμογές σε πολλούς και διαφορετικούς μεταξύ τους κλάδους των μαθηματικών όπως: οι μερικές διαφορικές εξισώσεις, η κυρτή γεωμετρία, η μετρική γεωμετρία και η θεωρία πιθανοτήτων. | |||
; Μετρική Γεωμετρία | ; Μετρική Γεωμετρία | ||
: | : Η μετρική γεωμετρία είναι ο κλάδος που μελετά τη γεωμετρία των μετρικών χώρων μέσω της καμπυλών ελάχιστου μήκους. Οι καμπύλες αυτές παίζουν το ρόλο των ευθειών της Ευκλείδειας γεωμετρίας, και μέσω αυτών μπορεί κανείς να ορίσει άνω και κάτω φράγματα για την καμπυλότητα των μετρικών χώρων. Στην ειδική περίπτωση πολυπτυγμάτων Riemann τα φράγματα αυτά στην καμπυλότητα αντιστοιχούν σε ένα και κάτω φράγματα στις καμπυλότητες τομής. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να μελετηθούν οι βασικές έννοιες και η βασική θεωρία της μετρικής γεωμετρίας. | ||
== Τομέας Άλγεβρας και Γεωμετρίας == | == Τομέας Άλγεβρας και Γεωμετρίας == | ||
==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-06-20-24-01/2016-03-10-16-23-14/13-greek/depgr/857-2016-03-17-09-59-55 Κατσαμπέκης Ανάργυρος] ==== | ==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-06-20-24-01/2016-03-10-16-23-14/13-greek/depgr/857-2016-03-17-09-59-55 Κατσαμπέκης Ανάργυρος] (Eπίκουρος Kαθηγητής) ==== | ||
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής. | |||
; Βάσεις Gröbner ενός διωνυμικού ιδεώδους ακμών γραφήματος | |||
: Σε κάθε απλό γράφημα G αντιστοιχίζουμε το διωνυμικό ιδεώδες ακμών J(G). Χρησιμοποιούμε τα μονοπάτια του G για να υπολογίσουμε μία βάση Gröbner για το J(G) ως προς την λεξικογραφική διάταξη. Επίσης δίνουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να έχει το ιδεώδες J(G) μια τετραγωνική βάση Gröbner ως προς κάποια μονωνυμική διάταξη. | |||
==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-34 Κεχαγιάς Επαμεινώνδας] (Καθηγητής) ==== | |||
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής. | |||
; Το Πρωταρχικό Θεώρημα της Θεωρίας Αναλλοιώτων και το Φράγμα της Nother | |||
: Έστωσαν '''F''' ένα σώμα, μια πεπερασμένη ομάδα G και '''F'''[x<sub>1</sub>, . . . , x<sub>n</sub>] μια πολυωνυμική άλγεβρα μαζί με έναν ομομορφισμό ομάδων ρ:G→GL(V). Μέσω του ομομορφισμού έχουμε μια δράση της G στον διανυσματικό χώρο V=<e<sub>1</sub>, . . . ,e<sub>n</sub>> και θεωρούμε ότι ο δυϊκός χώρος του V είναι ο V<sup>∗</sup>=<x<sub>1</sub>, . . . ,x<sub>n</sub>>. Ορίζεται λοιπόν μια δράση της G στο χώρο των πολυωνύμων. Το αντικείμενο της Θεωρίας Αναλλοιώτων είναι να βρεθούν τα πολυώνυμα τα οποία μένουν αναλλοίωτα κάτω από τη δράση της ομάδας G. Το πρόβλημα αυτό άρχισε να απασχολεί τη μαθηματική κοινότητα κυρίως από τον δέκατο ένατο αιώνα με ουσιώδη συνεισφορά του Hilbert και της Nother. Σκοπός αυτής της πτυχιακής εργασίας είναι να αποδειχθεί το Πρωταρχικό Θεώρημα της Θεωρίας Αναλλοιώτων και να υπολογισθεί το Φράγμα της Nother. Μέσω αυτών μπορούμε να μελετήσουμε βασικές αλγεβρικές ιδιότητες του δακτυλίου των αναλλοιώτων πολυωνύμων, όπως ότι είναι μια πεπερασμένως παραγόμενη άλγεβρα, κατασκευή αναλλοιώτων πολυωνύμων και πόσα τέτοια πολυώνυμα υπάρχουν σε συγκεκριμένο βαθμό. Αποτελεί ένα μείγμα άλγεβρας και γεωμετρίας και είναι μια εισαγωγή στην αντιμετα- θετική άλγεβρα με εφαρμογές στη θεωρία αναπαραστάσεων - συνομολογία ομάδων - αλγεβρική τοπολογία. | |||
; Οι Ομάδες του Artin και εφαρμογές στην Κρυπτογραφία | |||
: Οι ομάδες του Artin συνδέουν με πολύ όμορφο τρόπο τη Θεωρία Ομάδων με την Τοπολογία. Στην συγκεκριμένη πτυχιακή εργασία θα μελετήσουμε αλγεβρικές ιδιότητες των ομάδων του Artin και εφαρμογές στην κρυπτογραφία. Η χρήση τους στη κρυπτογραφία σχετίζεται με το αντίστοιχο πρόβλημα της λέξης (word problem) όπως επίσης με τα προβλήματα συζυγίας και ανάλυσης της ομάδας. Τα κρυπτοσυστήματα δημοσίου κλειδιού βασίζονται στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου (RSA Diffie - Hellman). Θα μελετήσουμε ένα κρυπτοσύστημα το οποίο βασίζεται στην ομάδα του Artin (Anshel and Goldfeld). | |||
; Πεπερασμένες Ομάδες Ισομετριών | |||
: Θα δώσουμε μια παρουσίαση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας από καθαρά ομαδοθεωρητική σκοπιά σύμφωνα με το Enlanger Programme. Θα ακολουθήσουμε μια "ουσιαστική" παρουσίαση των εννοιών και όχι "αξιωματική". Μια Γεωμετρία ορίζεται από τους επιτρεπτούς μετασχηματισμούς της οπότε θα δούμε τη σχέση της Γεωμετρίας με τη Θεωρία Ομάδων. Θα μελετήσουμε περερασμένες ομάδες ισομετριών και θα τις εφαρμόσουμε στα πλατωνικά στερεά και τις κρυσταλογραφικές ομάδες. | |||
==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-52 Σάββας-Χαλιλάι Ανδρέας] (Αναπληρωτής Καθηγητής) ==== | |||
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής. | |||
; Ελαχιστικές επιφάνειες και το πρόβλημα του Plateau | |||
: Μια ελαχιστική επιφάνεια χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα ότι “μικρή" μεταβολή της θα αυξίσει το εμβαδό της. Το πρόβλημα του Plateau αφορά την εύρεση μιας ελαχιστικής επιφάνειας όταν το σύνορο της είναι δεδομένο. Το ερώτημα είχε τεθεί πρώτα από τον Joseph-Luis Lagrange το 1970, αλλά πήρε το όνομά του από τον Joseph Plateau που έκανε πειράματα με ταινίες σαπουνιού. Το πρόβλμα θεωρείται μέρος του Λογισμού Μεταβολών. Αξίζει να σημειώθει ότι λύθηκε πλήρως το 1930, ανεξάρτητα, από τους Jesse Douglas (δείτε το λινκ [https://en.wikipedia.org/wiki/Jesse%20Douglas εδώ]) και Tibor Rado (δείτε το λινκ [https://en.wikipedia.org/wiki/Tibor_Rad%C3%B3 εδώ]). Επίσης, οι μέθοδοι που αναπτύχθηκαν από Douglas και Rado ήταν διαφορετικοί μεταξύ τους. Ο Douglas βραβεύτηκε με το Fields Medal το 1936 για την εργασία του πάνω σε αυτό το πρόβλημα. Στόχος αύτης της δράσης θα είναι η διεξοδική μελέτη ελαχιστικών επιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο, της απεικόνισης Gauss, της λύσης του προβλήματος του Plateau σε ειδικές περιπτώσεις καθώς και η μοναδικότητά της λύσης. Προαπαιτούμενα μαθήματα είναι η Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία και ο Διαφορικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) T. Colding and W. Minicozzi, A course in minimal surfaces, AMS, 2011, (2) R. Osserman, A survey of minimal surfaces, Dover Publications, 1989. | |||
; Ομοτοπία, ισοτοπία και βαθμός Hopf | |||
: Εδώ θα μελετήσουμε προβλήματα που άπτονται των περιοχών της Γεωμετρίας και Τοπολογίας. Το κύριο ερώτημα με το οποίο θα ασχοληθούμε σε αυτή τη δράση είναι πώς καταλαβαίνουμε ότι δύο συνεχείς απεικονίσεις μεταξύ τοπολογικών χώρων ή γενικά δύο σχήματα είναι διαφορετικά. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι δύο συνεχής κλειστές καμπυλές σε μια επιφάνεια είναι διαφορετικές όταν δεν υπάρχει συνεχής παραμόρφωση της μιας πάνω στη άλλη. Αντιλαμβανόμαστε ότι το “σχήμα” του περιβάλλοντα χώρου παίζει σημαντικό ρόλο στην απάντηση του προβλήματος. Λόγου χάριν, στη σφαίρα κάθε συνεχής κλειστή καμπύλη δύναται να παραμορφωθεί σε σημείο ενώ στον τόρο όχι απαραίτητα. Προαπαιτούμενα είναι γνώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας και Διαφορικού Λογισμού Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) M. A. Armstrong, Basic topology, UTM, Springer-Verlag, 1983, (2) K. Janich, Topology, UTM, Springer-Verlag, 2012, (3) J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Univ. of Virginia, 1965. | |||
; Ροή συρρίκνωσης καμπύλων | |||
: Πολλά προβλήματα στη γεωμετρία και τοπολογία έχουν αποδειχθεί με χρήση γεωμετρικών εξισώσεων εξέλιξης. Για παράδειγμα, αναφέρουμε το πρόβλημα του Poincare η λύση της οποίας επιτεύχθηκε μέσω της Ροής Ricci (δείτε το λινκ εδώ). Σε αυτή τη δράση, θα δούμε μια γεωμετρική εξίσωση εξέλιξης που αφορά καμπύλες σε επιφάνειες (δείτε το λινκ εδώ). Ένα από τα αποτελέσματα που θα δούμε είναι το θεώρημα του Grayson, σύμφωνα με το οποίο η ροή καμπυλότητας θα μετασχηματίσει μια απλή κλειστή καμπύλη είτε σε σημείο ή σε γεωδαισιακή. Για αυτό το θέμα χρειάζονται μόνο γνώσεις Διαφορικού Λογισμού Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) C. Epstein and M. Gage, The curve shortening flow, Wave Motion: Theory, Modelling, and Computation, MSRI Publications, 1987. | |||
<!-- | |||
== Τομέας Πιθανοτήτων, Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας == | == Τομέας Πιθανοτήτων, Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας == | ||
- | - | ||
--> | |||
== Τομέας Εφαρμοσμένων και Υπολογιστικών Μαθηματικών == | == Τομέας Εφαρμοσμένων και Υπολογιστικών Μαθηματικών == | ||
==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-55 Καρακατσάνη Φωτεινή] ==== | ==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-55 Καρακατσάνη Φωτεινή] (Eπίκουρη Kαθηγήτρια) ==== | ||
==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-56 Μπέκος Μιχάλης] ==== | |||
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής. | |||
; Θεωρητική και αριθμητική μελέτη συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν την εξάντληση των δασικών πόρων λόγω της πληθυσμιακής πίεσης και της εκβιομηχάνισης | |||
: Τα δάση καλύπτουν περίπου το ένα τρίτο της επιφάνειας της Γης και, [https://wwf.panda.org/discover/our%20focus/forests%20practice/importance%20forests/ σύμφωνα με την WWF], παρέχουν ενδιαιτήματα για το «80% της χερσαίας βιοποικιλότητας του κόσμου» και διατηρούν μια ισορροπία οξυγόνου και διοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα. Οι άνθρωποι σήμερα καθαρίζουν κάθε δευτερόλεπτο μια περιοχή μεγέθους γηπέδου ποδοσφαίρου από τα δέντρα είτε για χρήση των δασικών πόρων, είτε για να χρησιμοποιήσουν τις εκτάσεις αυτές με μη βιώσιμο τρόπο για τη γεωργία, την εκτροφή βοοειδών, την εξόρυξη, το πετρέλαιο, στέγαση κ.λ.π. Η συνεχής αποψίλωση των δασών έχει καταστροφικές επιπτώσεις στο οικοσύστημά μας. Είναι σαφές ότι η συνεχής αύξηση του ανθρώπινου πληθυσμού και της εκβιομηχάνισης και η μη επαρκής διατήρηση των δασικών πόρων ή μη προσπάθειες βιωσιμότητας, θα οδηγήσουν στην εξαφάνιση των δασών, καταστρέφοντας αναπόφευκτα τον πλανήτη όπως τον ξέρουμε σήμερα. Σε αυτή την πτυχιακή εργασία θα μελετηθούν (με θεωρητικές και αριθμητικές τεχνικές) συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν τη σχέση μεταξύ της αύξησης του ανθρώπινου πληθυσμού, της αντίστοιχης ανάπτυξης της βιομηχανίας, και της εξάντλησης των απαραίτητων δασικών πόρων του πλανήτη μας. | |||
; Μελέτη μη γραμμικών συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν επιπτώσεις της κλιματικής αλλαγής στην οικολογία και την ανθρώπινη υγεία | |||
: Η υπερθέρμανση του πλανήτη έχει αποτελέσει θέμα τεράστιων συζητήσεων και διαφωνιών την τελευταία δεκαετία λόγω των πιθανών πολυάριθμων δυσμενών επιπτώσεών της στην οικολογία και την ανθρώπινη υγεία. Το θέμα αυτής της πτυχιακής εργασίας θα είναι η μελέτη, με αναλυτικές και αριθμητικές μεθόδους, μη γραμμικών συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν τις επιπτώσεις της κλιματικής αλλαγής είτε στην οικολογία είτε στη μετάδοση ασθενειών. Αριθμητικές μέθοδοι, όπως οι μέθοδοι Runge-Kutta θα εφαρμοστούν για την αριθμητική επίλυση των παραπάνω συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. | |||
==== [https://math.uoi.gr/index.php/gr/2016-03-09-11-02-28/2016-03-09-11-02-29/2016-03-09-11-02-56 Μπέκος Μιχάλης] (Eπίκουρος Kαθηγητής) ==== | |||
Ως προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής έχουν τεθεί τα: "'''Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων'''" και "'''Δομές Δεδομένων'''". | |||
; Απεικόνιση γραφημάτων | |||
: Αποτελεί τομέα των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών που συνδυάζει μεθόδους από τη γεωμετρική θεωρία γραφημάτων και την οπτικοποίηση πληροφοριών για την παραγωγή απεικονίσεων γραφημάτων στο Ευκλείδειο επίπεδο ή στον τρισδιάστατο χώρο. Για μια σύντομη εισαγωγή, μπορείτε να παρακολουθήσετε [https://www.youtube.com/watch?v=jBpE21MIDN4 εδώ] μία σχετική διάλεξη, η οποία αποτελεί μέρος μιας σειράς διαλέξεων στο αντικείμενο αυτό, του Καθ. P. Kindermann. | |||
; Γραμμικές διατάξεις γραφημάτων | |||
: Αποτελεί τομέα της επιστήμης των υπολογιστών και της συνδυαστικής που εστιάζει στη μελέτη διατάξεων των κορυφών ενός γραφήματος υπό το πρίσμα διαφορετικών συναρτήσεων βελτιστοποίησης. Για μια σύντομη επισκόπηση, μπορείτε να παρακολουθήσετε την εισαγωγή του J. Grime στο NumberPhile, την οποία θα βρείτε [https://www.youtube.com/watch?v=qw2Pl%20Nk3CA εδώ]. | |||
; Επίλυση δύσκολων προβλημάτων με SAT | |||
: Αποτελεί τομέα της επιστήμης των υπολογιστών που εστιάζει στη μοντελοποίηση δύσκολων προβλημάτων συνδυαστικής ή βελτιστοποίησης ως ισοδύναμα προβλήματα SAT (Boolean Satisfiability Problems) και στην επίλυση τους μέσω αντίστοιχων λογισμικών επίλυσης. Για μια εφαρμογή σε γραμμικές διατάξεις γραφημάτων δείτε [http://alice.math.uoi.gr/ εδώ]. | |||
; Αλγοριθμική σήμανση χαρτών | |||
: Αποτελεί μέρος της επιστήμης των υπολογιστών, της χαρτογραφίας και δη των γεωγραφικών συστημάτων πληροφοριών που εστιάζει στη μελέτη και ανάπτυξη αλγοριθμικών μεθόδων σήμανσης χαρτών με χρήση προσδιοριστικών ετικετών. Μια εισαγωγή στα προβλήματα που εξετάζονται μπορείτε να βρείτε [https://arxiv.org/pdf/1902.01454.pdf εδώ]. | |||
Τελευταία αναθεώρηση της 06:21, 7 Οκτωβρίου 2024
Παρακαλούμε, δείτε τον Κανονισμό Εκπόνησης Πτυχιακής Εργασίας πριν επιλέξετε θέμα και πριν έρθετε σε επαφή με τον διδάσκοντα. Ο Κανονισμός Εκπόνησης Πτυχιακής Εργασίας περιλαμβάνει προϋποθέσεις, διαδικασίες και προβλέψεις τις οποίες πρέπει να γνωρίζετε πριν κάνετε οποιαδήποτε περαιτέρω ενέργεια.
Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης
Γιαννούλης Ιωάννης (Αναπληρωτής Καθηγητής)
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.
- Κλασικές λύσεις γραμμικών ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης (Θεωρία Schauder).
- Συνιστώμενες γνώσεις: Απειροστικός Λογισμός I-IV, Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις.
- Το θέμα της διατριβής αφορά ένα κλασικό πλέον τμήμα της Θεωρίας των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, δηλαδή την ύπαρξη, μοναδικότητα και λειότητα κλασικών λύσεων προβλημάτων συνοριακών τιμών Dirichlet σε φραγμένα υποσύνολα του \(R^n\) για γραμμικές ελλειπτικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Το κύριο ζητούμενο είναι η θεμελίωση όσο το δυνατόν ασθενέστερων υποθέσεων λειότητας στα δεδομένα του προβλήματος και ειδικότερα στους συντελεστές της εξίσωσης, κάτω από τις οποίες μπορεί κανείς να εγγυηθεί την ύπαρξη κλασικών λύσεων. Διαπιστώνεται ότι για να συμβεί αυτό εν γένει, οι συντελεστές της εξίσωσης πρέπει να είναι τουλάχιστον Holder συνεχείς συναρτήσεις, υπό την έννοια ότι μόνο η συνέχειά τους δεν επαρκεί. Το κομμάτι αυτό της θεωρίας των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων ονομάζεται Θεωρία Schauder και αποτελεί τη βάση για τη θεμελίωση πολλών αποτελεσμάτων της σύγχρονης θεωρίας μη γραμμικών κυρίως ελλειπτικών εξισώσεων δεύτερης τάξης αλλά μέσω αυτών και μη γραμμικών εξισώσεων παραβολικού και υπερβολικού τύπου. Ο πυρήνας της πτυχιακής διατριβής βασίζεται στο Κεφάλαιο 6 (για συνοριακές συνθήκες Dirichlet) του κλασικού έργου D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001. Το Κεφάλαιο 6 στηρίζεται με τη σειρά του στα Κεφάλαια 2 έως 4, καθώς και σε βασικά στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης, όπως αυτά αποδεικνύονται στο Κεφάλαιο 5. Αρκετά από τα αποτελέσματα των Κεφαλαίων 2 έως 4 έχουν διδαχθεί στο προπτυχιακό μάθημα επιλογής Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, στη βάση της Ενότητας 2.2 του βιβλίου L.C. Evans, Partial Differential Equations. Second Edition, AMS, 2010.
Μαυρίδης Κυριάκος (Λέκτορας)
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.
- Απόλυτα Συνεχείς Συναρτήσεις (Absolutely Continuous Functions)
- Συνιστώμενες γνώσεις: Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση.
- Οι απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις είναι ακριβώς εκείνες οι σχεδόν παντού παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού. Κάθε απόλυτα συνεχής συνάρτηση είναι και συνεχής, αλλά το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Η έννοια της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης σχετίζεται με την έννοια του απόλυτα συνεχούς μέτρου, αλλά αυτές οι δύο έννοιες είναι διακριτές. Δείτε την Wikipedia και την EncyclopediaOfMath για να αποκτήσετε μια πρώτη εικόνα για το αντικείμενο. Το αντικείμενο της εργασίας είναι: (1) η παρουσίαση της έννοιας της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης, (2) η ανάλυση της χρησιμότητας της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης, (3) η πλήρης ανάπτυξη της σχέσης της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης με τις έννοιες της συνέχειας, της ομοιόμορφης συνέχειας, της συνεχούς διαφορισιμότητας, της κατά Lipchitz συνέχειας, της φραγμένης μεταβολής και της διαφορισιμότητας σχεδόν παντού, (4) η ανάπτυξη των βασικών ιδιοτήτων των απόλυτα συνεχών συναρτήσεων, και (5) η όχι εκτεταμένη παρουσίαση της σχέσης της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης με την έννοια του απόλυτα συνεχούς μέτρου. Βιβλία Πραγματικής Ανάλυσης, Συναρτησιακής Ανάλυσης, Θεωρίας Μέτρου, καθώς και εισαγωγικών γνώσεων του αντικειμένου της Μαθηματικής Ανάλυσης, είναι αρκετά πιθανό να περιέχουν σε μικρό ή μεγάλο βαθμό υλικό που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αυτή την εργασία. Ενδεικτική βιβλιογραφία: (1) Bruckner, Bruckner and Thomson, "Real Analysis", (2) Hewitt and Stromberg, "Real and abstract analysis", και (3) Royden, "Real Analysis".
- Θεωρήματα Σταθερού Σημείου σε Ασθενή Τοπολογία (Fixed Point Theory under Weak Topology)
- Συνιστώμενες γνώσεις: Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση.
- Το αντικείμενο αυτής της εργασίας ταυτίζεται με την ανάπτυξη του ομότιτλου κεφαλαίου του βιβλίου των Jeribi και Krichen Nonlinear Functional Analysis in Banach Spaces, καθώς και με εφαρμογές των θεωρητικών αποτελεσμάτων που αυτό περιλαμβάνει. Για την επαρκή ανάπτυξη του αντικειμένου είναι εύλογο να χρησιμοποιηθούν και άλλα κεφάλαια του συγκεκριμένου βιβλίου ή άλλες πηγές. Το εν λόγω κεφάλαιο αναπτύσσει θεωρήματα σταθερού σημείου σε χώρους εφοδιασμένους με ασθενείς τοπολογίες. Άλλα κεφάλαια του βιβλίου παρουσιάζουν εφαρμογές αυτών των θεωρημάτων. Καθώς το αντικείμενο δύναται να ευνοεί την εκτεταμένη ανάπτυξη, είναι σημαντικό να γίνει λελογισμένη επιλογή της ύλης που θα παρουσιαστεί στην εργασία και να μην υπάρχει υπέρμετρη απόκλιση από τα πλαίσια του συγκεκριμένου βιβλίου.
- Κλασματικός Λογισμός (Fractional Calculus)
- Συνιστώμενες γνώσεις: Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση.
- Ο Κλασματικός Λογισμός αποτελεί μια επέκταση του κλασικού Απειροστικού Λογισμού, σε παραγώγους και ολοκληρώματα των οποίων η τάξη δεν είναι αναγκαστικά φυσικός αριθμός. Ο τρόπος ορισμού τέτοιων παραγώγων και ολοκληρωμάτων δεν είναι αναγκαστικά μοναδικός, με συνέπεια να υφίστανται διάφορες εκδοχές τέτοιων επεκτάσεων. Δείτε την Wikipedia και την EncyclopediaOfMath για να αποκτήσετε μια πρώτη εικόνα για το αντικείμενο. Το αντικείμενο της εργασίας είναι: (1) η παρουσίαση της έννοιας του κλασματικού ολοκληρώματος και της κλασματικής παραγώγου, (2) η παρουσίαση των διαφόρων εκδοχών κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (3) η επεξήγηση της σχέσης των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων με τα συνήθη ανάλογα τους, (4) η παρουσίαση των βασικών ιδιοτήτων των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (5) η ενδεικτική παρουσίαση πρακτικών εφαρμογών των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (6) η ειδική αναφορά σε διαφορικές εξισώσεις που περιλαμβάνουν κλασματικά ολοκληρώματα και παραγώγους και στους τρόπους μελέτης αυτών. Υπάρχει πληθώρα βιβλίων με αποκλειστικό περιεχόμενο τέτοιου είδους ολοκληρώματα και παραγώγους. Ενδεικτική βιβλιογραφία: (1) Das, "Functional Fractional Calculus", (2) Podlubny, "Fractional Differential Equations". Καθώς το αντικείμενο δύναται να ευνοεί την εκτεταμένη ανάπτυξη, είναι σημαντικό να γίνει λελογισμένη επιλογή της ύλης που θα παρουσιαστεί στην εργασία.
Σταματάκης Μάριος-Γεώργιος (Eπίκουρος Kαθηγητής)
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.
- Αρχή των μεγάλων αποκλίσεων
- Συνιστώμενες γνώσεις: Θεωρία Μέτρου.
- Ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι από τα κεντρικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Μέσω αυτού αναδύεται η στατιστική κανονικότητα από την αβεβαιότητα των τυχαίων φαινομένων. Έτσι ένα σημαντικό ερώτημα είναι το πόσο γρήγορα αρχίζει να ισχύει ο νόμος των μεγάλων αριθμών. Π.χ. γνωρίζουμε ότι αν ρίξουμε ένα αμερόληπτο κέρμα αρκετές φορές, τότε η σχετική συχνότητα εμφάνισης κορώνας είναι περίπου 1/2. Όμως πόσες φορές πρέπει να ρίξουμε ένα κέρμα ώστε η σχετική συχνότητα εμφάνισης κορώνας να πλησιάσει το 1/2 κατά μία δεδομένη απόκλιση, π.χ. χιλιοστού; Η απάντηση ερωτημάτων αυτού του τύπου είναι το αντικείμενο της θεωρίας των μεγάλων αποκλίσεων. Στην εργασία αυτή θα μελετήσουμε τις βασικές αρχές της θεωρίας των μεγάλων αποκλίσεων και θα δούμε εφαρμογές στα μαθηματικά και τη στατιστική φυσική.
- Το πρόβλημα βέλτιστης μεταφοράς μάζας
- Συνιστώμενες γνώσεις: Θεωρία Μέτρου.
- Το πρόβλημα βέλτιστης μεταφοράς μάζας διατυπώθηκε αρχικά από τον Monge το 1781: Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να μεταφέρουμε μία ποσότητα μάζας σε μία αποθήκη και ότι για να μεταφέρουμε μία μονάδα μάζας από τη θέση \(x\) στη θέση \(y\) της αποθήκης πρέπει να πληρώσουμε ένα κόστος \(c(x,y)\). Πώς πρέπει να μεταφέρουμε τη μάζα ώστε να πληρώσουμε συνολικά το μικρότερο δυνατό κόστος; Το πρόβλημα παρέμεινε σε μεγάλο βαθμό άλυτο έως το 1942 όπου διατυπώθηκε από τον Kantorovich σε κατάλληλα ασθενή μορφή. Στην ειδική περίπτωση όπου το κόστος που πληρώνουμε είναι κάποια δύναμη της απόστασης των σημείων \(x\) και \(y\), το συνολικό κόστος ορίζει μετρική στο σύνολο των κατανομών δεδομένης μάζας. Από το 2000 και έπειτα έχει γίνει φανερό ότι οι μετρικές αυτές καθώς και η γεωμετρία της βέλτιστης μεταφοράς μάζας έχουν εφαρμογές σε πολλούς και διαφορετικούς μεταξύ τους κλάδους των μαθηματικών όπως: οι μερικές διαφορικές εξισώσεις, η κυρτή γεωμετρία, η μετρική γεωμετρία και η θεωρία πιθανοτήτων.
- Μετρική Γεωμετρία
- Η μετρική γεωμετρία είναι ο κλάδος που μελετά τη γεωμετρία των μετρικών χώρων μέσω της καμπυλών ελάχιστου μήκους. Οι καμπύλες αυτές παίζουν το ρόλο των ευθειών της Ευκλείδειας γεωμετρίας, και μέσω αυτών μπορεί κανείς να ορίσει άνω και κάτω φράγματα για την καμπυλότητα των μετρικών χώρων. Στην ειδική περίπτωση πολυπτυγμάτων Riemann τα φράγματα αυτά στην καμπυλότητα αντιστοιχούν σε ένα και κάτω φράγματα στις καμπυλότητες τομής. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να μελετηθούν οι βασικές έννοιες και η βασική θεωρία της μετρικής γεωμετρίας.
Τομέας Άλγεβρας και Γεωμετρίας
Κατσαμπέκης Ανάργυρος (Eπίκουρος Kαθηγητής)
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.
- Βάσεις Gröbner ενός διωνυμικού ιδεώδους ακμών γραφήματος
- Σε κάθε απλό γράφημα G αντιστοιχίζουμε το διωνυμικό ιδεώδες ακμών J(G). Χρησιμοποιούμε τα μονοπάτια του G για να υπολογίσουμε μία βάση Gröbner για το J(G) ως προς την λεξικογραφική διάταξη. Επίσης δίνουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να έχει το ιδεώδες J(G) μια τετραγωνική βάση Gröbner ως προς κάποια μονωνυμική διάταξη.
Κεχαγιάς Επαμεινώνδας (Καθηγητής)
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.
- Το Πρωταρχικό Θεώρημα της Θεωρίας Αναλλοιώτων και το Φράγμα της Nother
- Έστωσαν F ένα σώμα, μια πεπερασμένη ομάδα G και F[x1, . . . , xn] μια πολυωνυμική άλγεβρα μαζί με έναν ομομορφισμό ομάδων ρ:G→GL(V). Μέσω του ομομορφισμού έχουμε μια δράση της G στον διανυσματικό χώρο V=<e1, . . . ,en> και θεωρούμε ότι ο δυϊκός χώρος του V είναι ο V∗=<x1, . . . ,xn>. Ορίζεται λοιπόν μια δράση της G στο χώρο των πολυωνύμων. Το αντικείμενο της Θεωρίας Αναλλοιώτων είναι να βρεθούν τα πολυώνυμα τα οποία μένουν αναλλοίωτα κάτω από τη δράση της ομάδας G. Το πρόβλημα αυτό άρχισε να απασχολεί τη μαθηματική κοινότητα κυρίως από τον δέκατο ένατο αιώνα με ουσιώδη συνεισφορά του Hilbert και της Nother. Σκοπός αυτής της πτυχιακής εργασίας είναι να αποδειχθεί το Πρωταρχικό Θεώρημα της Θεωρίας Αναλλοιώτων και να υπολογισθεί το Φράγμα της Nother. Μέσω αυτών μπορούμε να μελετήσουμε βασικές αλγεβρικές ιδιότητες του δακτυλίου των αναλλοιώτων πολυωνύμων, όπως ότι είναι μια πεπερασμένως παραγόμενη άλγεβρα, κατασκευή αναλλοιώτων πολυωνύμων και πόσα τέτοια πολυώνυμα υπάρχουν σε συγκεκριμένο βαθμό. Αποτελεί ένα μείγμα άλγεβρας και γεωμετρίας και είναι μια εισαγωγή στην αντιμετα- θετική άλγεβρα με εφαρμογές στη θεωρία αναπαραστάσεων - συνομολογία ομάδων - αλγεβρική τοπολογία.
- Οι Ομάδες του Artin και εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
- Οι ομάδες του Artin συνδέουν με πολύ όμορφο τρόπο τη Θεωρία Ομάδων με την Τοπολογία. Στην συγκεκριμένη πτυχιακή εργασία θα μελετήσουμε αλγεβρικές ιδιότητες των ομάδων του Artin και εφαρμογές στην κρυπτογραφία. Η χρήση τους στη κρυπτογραφία σχετίζεται με το αντίστοιχο πρόβλημα της λέξης (word problem) όπως επίσης με τα προβλήματα συζυγίας και ανάλυσης της ομάδας. Τα κρυπτοσυστήματα δημοσίου κλειδιού βασίζονται στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου (RSA Diffie - Hellman). Θα μελετήσουμε ένα κρυπτοσύστημα το οποίο βασίζεται στην ομάδα του Artin (Anshel and Goldfeld).
- Πεπερασμένες Ομάδες Ισομετριών
- Θα δώσουμε μια παρουσίαση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας από καθαρά ομαδοθεωρητική σκοπιά σύμφωνα με το Enlanger Programme. Θα ακολουθήσουμε μια "ουσιαστική" παρουσίαση των εννοιών και όχι "αξιωματική". Μια Γεωμετρία ορίζεται από τους επιτρεπτούς μετασχηματισμούς της οπότε θα δούμε τη σχέση της Γεωμετρίας με τη Θεωρία Ομάδων. Θα μελετήσουμε περερασμένες ομάδες ισομετριών και θα τις εφαρμόσουμε στα πλατωνικά στερεά και τις κρυσταλογραφικές ομάδες.
Σάββας-Χαλιλάι Ανδρέας (Αναπληρωτής Καθηγητής)
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.
- Ελαχιστικές επιφάνειες και το πρόβλημα του Plateau
- Μια ελαχιστική επιφάνεια χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα ότι “μικρή" μεταβολή της θα αυξίσει το εμβαδό της. Το πρόβλημα του Plateau αφορά την εύρεση μιας ελαχιστικής επιφάνειας όταν το σύνορο της είναι δεδομένο. Το ερώτημα είχε τεθεί πρώτα από τον Joseph-Luis Lagrange το 1970, αλλά πήρε το όνομά του από τον Joseph Plateau που έκανε πειράματα με ταινίες σαπουνιού. Το πρόβλμα θεωρείται μέρος του Λογισμού Μεταβολών. Αξίζει να σημειώθει ότι λύθηκε πλήρως το 1930, ανεξάρτητα, από τους Jesse Douglas (δείτε το λινκ εδώ) και Tibor Rado (δείτε το λινκ εδώ). Επίσης, οι μέθοδοι που αναπτύχθηκαν από Douglas και Rado ήταν διαφορετικοί μεταξύ τους. Ο Douglas βραβεύτηκε με το Fields Medal το 1936 για την εργασία του πάνω σε αυτό το πρόβλημα. Στόχος αύτης της δράσης θα είναι η διεξοδική μελέτη ελαχιστικών επιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο, της απεικόνισης Gauss, της λύσης του προβλήματος του Plateau σε ειδικές περιπτώσεις καθώς και η μοναδικότητά της λύσης. Προαπαιτούμενα μαθήματα είναι η Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία και ο Διαφορικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) T. Colding and W. Minicozzi, A course in minimal surfaces, AMS, 2011, (2) R. Osserman, A survey of minimal surfaces, Dover Publications, 1989.
- Ομοτοπία, ισοτοπία και βαθμός Hopf
- Εδώ θα μελετήσουμε προβλήματα που άπτονται των περιοχών της Γεωμετρίας και Τοπολογίας. Το κύριο ερώτημα με το οποίο θα ασχοληθούμε σε αυτή τη δράση είναι πώς καταλαβαίνουμε ότι δύο συνεχείς απεικονίσεις μεταξύ τοπολογικών χώρων ή γενικά δύο σχήματα είναι διαφορετικά. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι δύο συνεχής κλειστές καμπυλές σε μια επιφάνεια είναι διαφορετικές όταν δεν υπάρχει συνεχής παραμόρφωση της μιας πάνω στη άλλη. Αντιλαμβανόμαστε ότι το “σχήμα” του περιβάλλοντα χώρου παίζει σημαντικό ρόλο στην απάντηση του προβλήματος. Λόγου χάριν, στη σφαίρα κάθε συνεχής κλειστή καμπύλη δύναται να παραμορφωθεί σε σημείο ενώ στον τόρο όχι απαραίτητα. Προαπαιτούμενα είναι γνώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας και Διαφορικού Λογισμού Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) M. A. Armstrong, Basic topology, UTM, Springer-Verlag, 1983, (2) K. Janich, Topology, UTM, Springer-Verlag, 2012, (3) J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Univ. of Virginia, 1965.
- Ροή συρρίκνωσης καμπύλων
- Πολλά προβλήματα στη γεωμετρία και τοπολογία έχουν αποδειχθεί με χρήση γεωμετρικών εξισώσεων εξέλιξης. Για παράδειγμα, αναφέρουμε το πρόβλημα του Poincare η λύση της οποίας επιτεύχθηκε μέσω της Ροής Ricci (δείτε το λινκ εδώ). Σε αυτή τη δράση, θα δούμε μια γεωμετρική εξίσωση εξέλιξης που αφορά καμπύλες σε επιφάνειες (δείτε το λινκ εδώ). Ένα από τα αποτελέσματα που θα δούμε είναι το θεώρημα του Grayson, σύμφωνα με το οποίο η ροή καμπυλότητας θα μετασχηματίσει μια απλή κλειστή καμπύλη είτε σε σημείο ή σε γεωδαισιακή. Για αυτό το θέμα χρειάζονται μόνο γνώσεις Διαφορικού Λογισμού Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) C. Epstein and M. Gage, The curve shortening flow, Wave Motion: Theory, Modelling, and Computation, MSRI Publications, 1987.
Τομέας Εφαρμοσμένων και Υπολογιστικών Μαθηματικών
Καρακατσάνη Φωτεινή (Eπίκουρη Kαθηγήτρια)
Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.
- Θεωρητική και αριθμητική μελέτη συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν την εξάντληση των δασικών πόρων λόγω της πληθυσμιακής πίεσης και της εκβιομηχάνισης
- Τα δάση καλύπτουν περίπου το ένα τρίτο της επιφάνειας της Γης και, σύμφωνα με την WWF, παρέχουν ενδιαιτήματα για το «80% της χερσαίας βιοποικιλότητας του κόσμου» και διατηρούν μια ισορροπία οξυγόνου και διοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα. Οι άνθρωποι σήμερα καθαρίζουν κάθε δευτερόλεπτο μια περιοχή μεγέθους γηπέδου ποδοσφαίρου από τα δέντρα είτε για χρήση των δασικών πόρων, είτε για να χρησιμοποιήσουν τις εκτάσεις αυτές με μη βιώσιμο τρόπο για τη γεωργία, την εκτροφή βοοειδών, την εξόρυξη, το πετρέλαιο, στέγαση κ.λ.π. Η συνεχής αποψίλωση των δασών έχει καταστροφικές επιπτώσεις στο οικοσύστημά μας. Είναι σαφές ότι η συνεχής αύξηση του ανθρώπινου πληθυσμού και της εκβιομηχάνισης και η μη επαρκής διατήρηση των δασικών πόρων ή μη προσπάθειες βιωσιμότητας, θα οδηγήσουν στην εξαφάνιση των δασών, καταστρέφοντας αναπόφευκτα τον πλανήτη όπως τον ξέρουμε σήμερα. Σε αυτή την πτυχιακή εργασία θα μελετηθούν (με θεωρητικές και αριθμητικές τεχνικές) συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν τη σχέση μεταξύ της αύξησης του ανθρώπινου πληθυσμού, της αντίστοιχης ανάπτυξης της βιομηχανίας, και της εξάντλησης των απαραίτητων δασικών πόρων του πλανήτη μας.
- Μελέτη μη γραμμικών συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν επιπτώσεις της κλιματικής αλλαγής στην οικολογία και την ανθρώπινη υγεία
- Η υπερθέρμανση του πλανήτη έχει αποτελέσει θέμα τεράστιων συζητήσεων και διαφωνιών την τελευταία δεκαετία λόγω των πιθανών πολυάριθμων δυσμενών επιπτώσεών της στην οικολογία και την ανθρώπινη υγεία. Το θέμα αυτής της πτυχιακής εργασίας θα είναι η μελέτη, με αναλυτικές και αριθμητικές μεθόδους, μη γραμμικών συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν τις επιπτώσεις της κλιματικής αλλαγής είτε στην οικολογία είτε στη μετάδοση ασθενειών. Αριθμητικές μέθοδοι, όπως οι μέθοδοι Runge-Kutta θα εφαρμοστούν για την αριθμητική επίλυση των παραπάνω συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
Μπέκος Μιχάλης (Eπίκουρος Kαθηγητής)
Ως προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής έχουν τεθεί τα: "Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων" και "Δομές Δεδομένων".
- Απεικόνιση γραφημάτων
- Αποτελεί τομέα των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών που συνδυάζει μεθόδους από τη γεωμετρική θεωρία γραφημάτων και την οπτικοποίηση πληροφοριών για την παραγωγή απεικονίσεων γραφημάτων στο Ευκλείδειο επίπεδο ή στον τρισδιάστατο χώρο. Για μια σύντομη εισαγωγή, μπορείτε να παρακολουθήσετε εδώ μία σχετική διάλεξη, η οποία αποτελεί μέρος μιας σειράς διαλέξεων στο αντικείμενο αυτό, του Καθ. P. Kindermann.
- Γραμμικές διατάξεις γραφημάτων
- Αποτελεί τομέα της επιστήμης των υπολογιστών και της συνδυαστικής που εστιάζει στη μελέτη διατάξεων των κορυφών ενός γραφήματος υπό το πρίσμα διαφορετικών συναρτήσεων βελτιστοποίησης. Για μια σύντομη επισκόπηση, μπορείτε να παρακολουθήσετε την εισαγωγή του J. Grime στο NumberPhile, την οποία θα βρείτε εδώ.
- Επίλυση δύσκολων προβλημάτων με SAT
- Αποτελεί τομέα της επιστήμης των υπολογιστών που εστιάζει στη μοντελοποίηση δύσκολων προβλημάτων συνδυαστικής ή βελτιστοποίησης ως ισοδύναμα προβλήματα SAT (Boolean Satisfiability Problems) και στην επίλυση τους μέσω αντίστοιχων λογισμικών επίλυσης. Για μια εφαρμογή σε γραμμικές διατάξεις γραφημάτων δείτε εδώ.
- Αλγοριθμική σήμανση χαρτών
- Αποτελεί μέρος της επιστήμης των υπολογιστών, της χαρτογραφίας και δη των γεωγραφικών συστημάτων πληροφοριών που εστιάζει στη μελέτη και ανάπτυξη αλγοριθμικών μεθόδων σήμανσης χαρτών με χρήση προσδιοριστικών ετικετών. Μια εισαγωγή στα προβλήματα που εξετάζονται μπορείτε να βρείτε εδώ.