Δακτύλιοι, Πρότυπα και Εφαρμογές (MAE628)

Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE628
Εξάμηνο	6
Τίτλος Μαθήματος	Δακτύλιοι, Πρότυπα και Εφαρμογές
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού Υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Nαι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στα κυριότερα εργαλεία και τις μεθόδους της θεωρίας, κυρίως μεταθετικών, δακτυλίων, και των προτύπων υπεράνω αυτών. Το μάθημα επικεντρώνεται στη μελέτη δακτυλίων κυρίων ιδεωδών και περιοχών μονοσήμαντης ανάλυσης, και στη μελέτη της δομής πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων υπεράνω αυτών των δακτυλίων. Ο κεντρικός στόχος του μαθήματος είναι η παρουσίαση των βασικών θεωρημάτων αποσύνθεσης πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων υπεράνω περιοχών κυρίων ιδεωδών και περιοχών μονοσήμαντης. Βασικό στοιχείο στην μελέτη των παραπάνω δακτυλίων αποτελεί η αλληλεπίδραση της δομής των ιδεωδών του δακτυλίου με την δομή των πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων (αναπαραστάσεων) του. Στο μάθημα θα δοθεί πληθώρα παραδειγμάτων και επιπρόσθετα θα δοθούν εφαρμογές σε διάφορες περιοχές των Μαθηματικών και ειδικότερα της Άλγεβρας, έχοντας ως οδηγό τη ανάλυση της δομής: των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων, των πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων υπεράνω ενός πολυωνυμικού δακτυλίου, η οποία οδηγεί στην μελέτη κανονικών μορφών γραμμικών απεικονίσεων και πινάκων (ρητή κανονική μορφή και κανονική μορφή Jordan). Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο πτυχιούχος να αποκτήσει την ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Δακτυλίων Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχών Μονοσήμαντης Ανάλυσης, της Βασικής Θεωρίας Προτύπων υπεράνω, κυρίως μεταθετικών, δακτυλίων, και των εφαρμογών τους στη Θεωρία Αβελιανών Ομάδων, στη Θεωρία Πολυωνύμων, και στην Γραμμική Άλγεβρα. Η Θεωρία η οποία αναπτύσσεται στο μάθημα αποτελεί ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης Άλγεβρας, και ο πτυχιούχος, ερχόμενος για πρώτη φορά σε επαφή με έννοιες της Θεωρίας Δακτυλίων, της Θεωρίας Προτύπων και των Εφαρμογών τους, προάγει τη δημιουργική, αναλυτική και επαγωγική σκέψη του, και καθώς και την ικανότητά του να εφαρμόζει αφηρημένες γνώσεις σε διακεκριμένα προβλήματα διάφορων περιοχών.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Στοιχειώδης θεωρία Δακτυλίων.
• Ευκλείδειες περιοχές, περιοχές κυρίων ιδεωδών, και περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης.
• Γενική Θεωρία Προτύπων.
• Πρότυπα υπεράνω πολυωνυμικών δακτυλίων.
• Πεπερασμένα παραγόμενα και ελεύθερα πρότυπα.
• Πρότυπα υπεράνω περιοχών κυρίων ιδεωδών.
• Θεωρήματα αποσύνθεσης.  
• Εφαρμογές στη θεωρία αβελιανών ομάδων (δομή πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων) και στη Γραμμική Άλγεβρα (ρητή κανονική μορφή και κανονική μορφή Jordan).

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ3) 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 33 Σύνολο Μαθήματος 150
Αξιολόγηση Φοιτητών	Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις στον πίνακα, και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

• Μ. Μαλιάκας: «Εισαγωγή στη Μεταθετική Άλγεβρα»,  Εκδόσεις Σοφία. 
• N. Jacobson: “Basic Algebra I”, Dover Publications (1985).
• S. Lang: «Άλγεβρα», Εκδόσεις Πολιτεία (2010).