Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων (ΑΑ5)

Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΑΑ5
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΝΗΘΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Στο μάθημα δίνεται μια στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία προβλημάτων αρχικών τιμών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και μελετώνται αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων καθώς και αριθμητικές μέθοδοι για το πρόβλημα δύο σημείων. Βασική επιδίωξη είναι η κατανόηση των θεμελιωδών ποιοτικών χαρακτηριστικών αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών, όπως η συνέπεια και η τάξη ακρίβειας, διάφορες ιδιότητες ευστάθειας κ.λπ. Αποσκοπεί επίσης στην εξοικείωση με τις κύριες κατηγορίες αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών καθώς και για προβλήματα συνοριακών τιμών. Έπειτα από επιτυχή συμμετοχή στο μάθημα οι φοιτητές αναμένεται να: Κατανοούν τα βασικά ζητήματα για προβλήματα αρχικών τιμών καθώς και για το πρόβλημα δύο σημείων και μπορούν να επιλύσουν κάποιες απλές διαφορικές εξισώσεις. Αντιλαμβάνονται τον ρόλο της συνέπειας, της τάξης ακρίβειας και διαφόρων ιδιοτήτων ευστάθειας αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών. Γνωρίζουν τις βασικές αριθμητικές μεθόδους για προβλήματα αρχικών τιμών, καθώς και τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους. Γνωρίζουν τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών καθώς και τα βασικά για τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων.

Γενικές Ικανότητες

Προαγωγή ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης Αξιοποίηση, εμπέδωση, εμβάθυνση και εφαρμογή μαθηματικών γνώσεων. Εξοικείωση με βασικές αριθμητικές μεθόδους για διαφορικές εξισώσεις.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία του προβλήματος αρχικών τιμών.
• Λεπτομερής μελέτη των μεθόδων του Euler: τάξη ακρίβειας, ιδιότητες ευστάθειας, A-ευστάθεια και B-ευστάθεια, εκτίμηση του σφάλματος υπό διάφορες συνθήκες Lipschitz, όπως η ολική, η τοπική και η μονόπλευρη, εκ των προτέρων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις των σφαλμάτων.
• Μέθοδοι των Runge-Kutta και μέθοδοι συνεγγισμού: ιδιότητες ευστάθειας, τάξη ακρίβειας, μέθοδοι με μεταβλητό βήμα, ζεύγη μεθόδων για αυτόματη επιλογή βήματος.
• Πολυβηματικές μέθοδοι: στοιχεία από τη θεωρία των εξισώσεων διαφορών, συνθήκη των ριζών και ευστάθεια, τάξη ακρίβειας, μονοσκελής εκδοχή πολυβηματικών μεθόδων και G-ευστάθεια.
• Εισαγωγή στη θεωρία του προβλήματος δύο σημείων: μέθοδος της ενέργειας, ελλειπτική ομαλότητα.
• Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα δύο σημείων.
• Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων: κατασκευή χώρων πεπερασμένων στοιχείων για διάφορες συνοριακές συνθήκες, μέθοδοι Galerkin και Ritz, το τέχνασμα του Nitsche. Ανάλυση σφάλματος στην περίπτωση μη (θετικά) ορισμένου τελεστή.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Στην τάξη
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων - Εργασίες 70.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Ενδιάμεσες γραπτές εξετάσεις καθώς και τελική γραπτή εξέταση με ερωτήματα ανάπτυξης επιχειρημάτων για επίλυση προβλημάτων και ασκήσεων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

• Γ. Δ. Ακρίβης, Β. Α. Δουγαλής: Αριθμητικές Μέθοδοι για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο. Δεύτερη έκδοση, 2013, πρώτη ανατύπωση, 2015.