Διαφορική Τοπολογία (ΓΕ4)

Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΓΕ4
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού Υπόβαθρου Υπόβαθρου, Ανάπτυξης ιδιαίτερων Δεξιοτήτων στην τοπολογία - γεωμετρία - άλγεβρα
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	ΓΕ5 Αλγεβρική Τοπολογία I, Διαφορική Γεωμετρία (ΓΕ2)
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

H γέννηση της διαφορικής τοπολογίας έγινε από τους G. De Rham και E. Cartan. Συνήθως με την ύπαρξη μιας πολλαπλότητας-πολυπτύγματος υπάρχει και μια έξτρα δομή όπως π.χ. η μετρική Riemann. Στον κλάδο της Διαφορικής τοπολογίας η πολλαπλότητα-πολύπτυγμα μελετάται χωρίς να λαμβάνεται υπόψιν η έξτρα δομή. Οι συνήθεις ερωτήσεις που απαντώνται σε ένα εισαγωγικό μάθημα διαφορικής τοπολογίας είναι: Αν δύο πολλαπλότητες-πολυπτύγματα είναι ομοιομορφικά είναι και διαφορομορφικά; Μπορεί μια πολλαπλότητα-πολύπτυγμα να εμβαπτιστεί σε μία άλλη; Είναι σύνορο κάποιας άλλης; Δέχεται δράση ομάδας; Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση εφαρμογών της Αλγεβρικής Τοπολογίας και Διαφορικής Γεωμετρίας στη μελέτη τοπολογικών αναλλοιώτων διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων-πολυπτυγμάτων. Μία από τις ισχυρότερες συνδέσεις μεταξύ αλγεβρικής και διαφορικής τοπολογίας είναι οι εφαπτόμενες δέσμες και αυτές αποτελούν κάποιες από τις βαθύτερες αναλλοίωτους για τους διαφορομορφισμούς. Η κατεύθυνση αυτή συνδέει τη θεωρία ομοτοπίας με την ομάδα των διαφορομορφισμών μιας πολλαπλότητας-πολυπτύγματος. Έμφαση δίνεται στη θεωρία των κρίσιμων σημείων του Morse και στο θεώρημα Morse-Sard. Επίσης, θα δοθούν διάφορες εφαρμογές στη θεωρία υποπολυπτυγμάτων. Στο τέλος του μαθήματος, ο μεταπτυχιακός φοιτητής θα είναι σε θέση να μελετάει νέα ερευνητικά άρθρα που θα του είναι απαραίτητα για την εκπόνηση μεταπτυχιακής ή διδακτορικής διατριβής.

Γενικές Ικανότητες

Η μετάβαση και ευχέρεια κατανόησης δύσκολων μαθηματικών αποδείξεων. Αυτόνομη εργασία ώστε να έχουν την ευκαιρία να βελτιώσουν την ικανότητά τους για συγγραφή ατομικών μαθηματικών κειμένων στη περιοχή της διαφορικής τοπολογίας. Παροχή ανώτερων γνώσεων ώστε να μπορούν να κατανοήσουν - αναλύσουν προχωρημένα γεωμετρικά προβλήματα.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Ομολογία και συνομολογία.
• Διανυσματικές δέσμες.
• Βαθμός απεικόνισης, Χαρακτηριστική Euler.
• Αριθμοί Betti.
• Συγκόλληση πολυπτυγμάτων.
• Συνορισμός, ο ομομορφισμός του Thom.
• Συναρτήσεις Morse.
• Το θεώρημα των Morse - Sard.
• Περνώντας από κρίσιμες τιμές.
• Προσάρτηση χειρολαβών.
• Κυτταρική διάσπαση πολυπτυγμάτων.
• Το θεώρημα του Reeb.
• Ανισότητες Morse.
• Ολική καμπυλότητα και απεικόνιση Gauss.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες 70.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

• T. Bröcker, K. Jänich, Introduction to differential topology, Cambridge Univ. Press, 1982.
• V. Guillemin and A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, 1974.
• J. Milnor, Morse Theory, Annals of Mathematical Studies, 51. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
• J. Milnor, Topology from a differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville, Va. 1965.