Διαφορική Τοπολογία (ΓΕ4): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Από Wiki Τμήματος Μαθηματικών
(Νέα σελίδα με 'Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - [https://math.uoi.gr Τμήμα Μαθηματικών] === Γενικά === {| class="wikitable" |- ! Σχολή | Σχολή Θετικών Επιστημών |- ! Τμήμα | Τμήμα Μαθηματικών |- ! Επίπεδο Σπουδών | Μεταπτυχιακό |- ! Κωδικός Μαθήματος | ΓΕ4 |- ! Εξάμηνο | 2 |- ! Τίτλος Μαθήματος | ΔΙ...') |
μ (Αντικατάσταση κειμένου - «Σύστημα Διαχείρισης Μάθησης» σε «Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης») |
||
Γραμμή 39: | Γραμμή 39: | ||
|- | |- | ||
! Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) | ! Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) | ||
| Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], το | | Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], το Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. | ||
|} | |} | ||
Αναθεώρηση της 22:04, 29 Σεπτεμβρίου 2022
Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών
Γενικά
Σχολή | Σχολή Θετικών Επιστημών |
---|---|
Τμήμα | Τμήμα Μαθηματικών |
Επίπεδο Σπουδών | Μεταπτυχιακό |
Κωδικός Μαθήματος | ΓΕ4 |
Εξάμηνο | 2 |
Τίτλος Μαθήματος | ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ |
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες | Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5) |
Τύπος Μαθήματος | Ειδικού Υπόβαθρου Υπόβαθρου, Ανάπτυξης ιδιαίτερων Δεξιοτήτων στην τοπολογία - γεωμετρία - άλγεβρα |
Προαπαιτούμενα Μαθήματα | ΓΕ5 Αλγεβρική Τοπολογία I, Διαφορική Γεωμετρία (ΓΕ2) |
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων | Ελληνική |
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus | Ναι (στην Αγγλική γλώσσα) |
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) | Δείτε το eCourse, το Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. |
Μαθησιακά Αποτελέσματα
Μαθησιακά Αποτελέσματα | H γέννηση της διαφορικής τοπολογίας έγινε από τους G. De Rham και E. Cartan. Συνήθως με την ύπαρξη μιας πολλαπλότητας-πολυπτύγματος υπάρχει και μια έξτρα δομή όπως π.χ. η μετρική Riemann. Στον κλάδο της Διαφορικής τοπολογίας η πολλαπλότητα-πολύπτυγμα μελετάται χωρίς να λαμβάνεται υπόψιν η έξτρα δομή. Οι συνήθεις ερωτήσεις που απαντώνται σε ένα εισαγωγικό μάθημα διαφορικής τοπολογίας είναι: Αν δύο πολλαπλότητες-πολυπτύγματα είναι ομοιομορφικά είναι και διαφορομορφικά; Μπορεί μια πολλαπλότητα-πολύπτυγμα να εμβαπτιστεί σε μία άλλη; Είναι σύνορο κάποιας άλλης; Δέχεται δράση ομάδας; Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση εφαρμογών της Αλγεβρικής Τοπολογίας και Διαφορικής Γεωμετρίας στη μελέτη τοπολογικών αναλλοιώτων διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων-πολυπτυγμάτων. Μία από τις ισχυρότερες συνδέσεις μεταξύ αλγεβρικής και διαφορικής τοπολογίας είναι οι εφαπτόμενες δέσμες και αυτές αποτελούν κάποιες από τις βαθύτερες αναλλοίωτους για τους διαφορομορφισμούς. Η κατεύθυνση αυτή συνδέει τη θεωρία ομοτοπίας με την ομάδα των διαφορομορφισμών μιας πολλαπλότητας-πολυπτύγματος. Έμφαση δίνεται στη θεωρία των κρίσιμων σημείων του Morse και στο θεώρημα Morse-Sard. Επίσης, θα δοθούν διάφορες εφαρμογές στη θεωρία υποπολυπτυγμάτων. Στο τέλος του μαθήματος, ο μεταπτυχιακός φοιτητής θα είναι σε θέση να μελετάει νέα ερευνητικά άρθρα που θα του είναι απαραίτητα για την εκπόνηση μεταπτυχιακής ή διδακτορικής διατριβής. |
---|---|
Γενικές Ικανότητες |
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
- Ομολογία και συνομολογία.
- Διανυσματικές δέσμες.
- Βαθμός απεικόνισης, Χαρακτηριστική Euler.
- Αριθμοί Betti.
- Συγκόλληση πολυπτυγμάτων.
- Συνορισμός, ο ομομορφισμός του Thom.
- Συναρτήσεις Morse.
- Το θεώρημα των Morse - Sard.
- Περνώντας από κρίσιμες τιμές.
- Προσάρτηση χειρολαβών.
- Κυτταρική διάσπαση πολυπτυγμάτων.
- Το θεώρημα του Reeb.
- Ανισότητες Morse.
- Ολική καμπυλότητα και απεικόνιση Gauss.
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
Τρόπος Παράδοσης | Πρόσωπο με πρόσωπο | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών | . | ||||||||||
Οργάνωση Διδασκαλίας |
| ||||||||||
Αξιολόγηση Φοιτητών | Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων. |
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
- T. Bröcker, K. Jänich, Introduction to differential topology, Cambridge Univ. Press, 1982.
- V. Guillemin and A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, 1974.
- J. Milnor, Morse Theory, Annals of Mathematical Studies, 51. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
- J. Milnor, Topology from a differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville, Va. 1965.