Πραγματική Ανάλυση (AN1)

• English version
• Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων
• Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	AN1
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Γενικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	Εισαγωγή στην Τοπολογία (ΜΑΥ 413)
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα	Οι στόχοι του μαθήματος είναι η βαθύτερη μελέτη των μετρικών χώρων. Παρουσιάζεται το θεώρημα Stone-Weirstrass, καθώς και θεωρήματα που αφορούν οικογένειες ισοσυνεχών συναρτήσεων. Μελετούνται το σύνολο Cantor, οι ολικά φραγμένοι και συμπαγείς μετρικοί χώροι, εισάγεται η μετρική Hausdorff, αποδεικνύεται το θεώρημα Tietze καιι δίνονται εφαρμογές των παραπανω αποτελεσμάτων.
Γενικές Ικανότητες	Το μάθημα αποσκοπεί στην απόκτηση της ικανότητας από τον μεταπτυχιακό φοιτητή στην ανάλυση και σύνθεση βαθύτερων γνώσεων της Πραγματικής Ανάλυσης.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Θεωρήματα Ascoli-Arzela και Stone-Weirtrass και εφαρμογές, σύνολο Cantor, χαρακτηρισμός των ολικά φραγμένων μετρικών χώρων μέσω υποσυνόλων του συνόλου Cantor, επεκτάσεις συνεχών συναρτήσεων και το θεώρημα Tietze, ο χώρος S(X) των κλειστών και φραγμένων υποσυνόλων ενός μετρικού χώρου (X,d), η μετρική Hausdorff h στον S(X), χαρακτηρισμός πληρότητας του μετρικού χώρου (S(X),h), εφαρμογές - το θεώρημα επιλογής του Blashke, εφαρμογές του θεωρήματος σταθερού σημείου του Banach, διαμερίσεις της μονάδας.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Αυτοτελής Μελέτη 110 Επίλυση ασκήσεων 38,5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Οι φοτητές επιλέγουν έναν ή και δύο από τους παρακάτω τρόπους εξέτασης: Παρουσίαση εργασιών-θεμάτων στον πινακα. Τελική γραπτή εξέταση. Σε περίπτωση που ο φοιτητής διαλέγει και τους δύο τρόπους εξέτασης, ο τελικός του βαθμός είναι ο μεγαλύτερος από τους δύο βαθμούς. Τα κριτήρια αξιολόγησης καθώς και όλα τα βήματα της διαδικασίας αξιολόγησης είναι προσβάσιμα στους φοιτητές από την ιστοσελίδα “E-course” του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

• Charalambos D. Aliprantis, Owen Burkinshaw, Principles of Real Analysis, Academic Press.
• Michael O Searcoid, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series.