Θεωρία Μέτρου (AN7)

• English version
• Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων
• Τροποποίηση Περιγράμματος (η δυνατότητα αυτή απευθύνεται αποκλειστικά στα μέλη ΔΕΠ του Τμήματος)
• Τμήμα Μαθηματικών
• Αποθήκευση ως PDF ή Εκτύπωση (για αποθήκευση ως PDF, κάντε την σχετική επιλογή στη λίστα εκτυπωτών που θα εμφανιστεί)

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	AN7
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Γλώσσα διδασκαλίας στο πλαίσιο των διαλέξεων: Ελληνικά. Γλώσσα διδασκαλίας εκτός διαλέξεων: Ελληνικά και Αγγλικά. Γλώσσα εξετάσεων: Ελληνικά και Αγγλικά.
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Σε όλα τα παρακάτω, τα σύνολα θεωρούνται ότι είναι τυχόντα υποσύνολα ενός τυχαίου ευκλείδειου σταθμητού χώρου πεπερασμένης διάστασης. Μαθησιακά αποτελέσματα με βάση την Ταξινόμηση κατά Bloom. Γνώση: Η έννοια του ορθογωνίου και του όγκου αυτού. Η έννοια του εξωτερικού μέτρου. Η έννοια του μέτρου Lebesgue. Η έννοια της σ-’Αλγεβρας. Το σύνολο Borel. Η έννοια της χαρακτηριστικής συνάρτησης, της κλιμακωτής συνάρτησης, της απλής συνάρτησης και της μετρήσιμης συνάρτησης. Η “σχεδόν παντού” ισχύς μιας ιδιότητας. Η έννοια του ολοκληρώματος Lebesgue. Ορισμός του χώρου L1 των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Η έννοια της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης. Η έννοια της τοπικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης. Η έννοια της πυκνότητας Lebesgue. Το σύνολο Lebesgue μιας τοπικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης. Οι καλοί πυρήνες και οι προσεγγίσεις στην ταυτότητα. Η έννοια της συνάρτησης φραγμένης μεταβολής. Η έννοια των αφηρημένων μετρήσιμων χώρων. Τα Caratheodory μετρήσιμα σύνολα. Τα μετρικά εξωτερικά μέτρα. Η έννοια του προσημασμένου μέτρου. Κατανόηση: Το σύνολο του Cantor. Ιδιότητες του εξωτερικού μέτρου. Ιδιότητες του μέτρου Lebesgue. Αμετάβλητο του μέτρου Lebesgue κατά μετατοπίσεις. Συνθήκες μετρησιμότητας συνόλων. Κατασκευή μη-μετρήσιμων συνόλων. Ιδιότητες μετρήσιμων συναρτήσεων. Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων από απλές ή κλιμακωτές συναρτήσεις. Τρεις Αρχές του Littlewood. Ανισότητα Brunn - Minkowskii. Ιδιότητες ολοκληρώματος Lebesgue. Σχέση μεταξύ ολοκληρώματος Lebesgue και ολοκληρώματος Riemann. Λήμμα Fatou. Θεώρημα μονότονης σύγκλισης. Θεώρημα Riesz - Fischer. Αμετάβλητο του ολοκληρώματος Lebesgue κατά μετατοπίσεις. Θεώρημα Fubini. Σχέση μεταξύ ολοκληρώσιμης και μετρήσιμης συνάρτησης. Η μεγιστική συνάρτηση των Hardy - Littlewood. Ιδιότητες συναρτήσεων φραγμένης μεταβολής. Ιδιότητες απόλυτα συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Ιδιότητες των αφηρημένων μετρήσιμων χώρων. Ολοκλήρωση σε αφηρημένους μετρήσιμους χώρους. Απόλυτη συνέχεια μέτρων. Εφαρμογή: Υπολογισμός μέτρου συνόλου. Εύρεση παραδειγμάτων μη-μετρήσιμων συνόλων. Υπολογισμός ολοκληρώματος Lebesgue. Εύρεση μέσης τιμής συνάρτησης. Αξιολόγηση: Διδασκαλία μαθημάτων προπτυχιακού επιπέδου.

Γενικές Ικανότητες

Προαγωγή της δημιουργικής, αναλυτικής και επαγωγικής σκέψης. Είναι προαπαιτούμενο για την παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών. Αυτόνομη εργασία. Ομαδική εργασία. Λήψη αποφάσεων.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Χώροι μέτρου, μέτρο Lebesgue. Mετρήσιμες συναρτήσεις και ολοκλήρωμα Lebesgue, Θεώρημα μονότονης και κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, σύγκρισή του ολοκληρώματος Lebesgue με το ολοκλήρωμα Riemann. Μέτρα γινόμενα, Θεώρημα Fubini. Χώροι Lp. Προσημασμένα μέτρα, ανάλυση Hahn, Θεώρημα Radon-Nikodym. Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Διαλέξεις σε αμφιθέατρο. Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση Learning Management System. Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση forums για την εξάσκηση των φοιτητών στην επίλυση ασκήσεων και την κατανόηση της θεωρίας. Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση βιντεοσκοπήσεων.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση Learning Management System, σε συνδυασμό με File Sharing Platform και Blog Management System για τον διαμερισμό διδακτικού υλικού, την υποβολή εκ μέρους των φοιτητών εργασιών, την δημοσίευση ανακοινώσεων σχετικών με το μάθημα, τη διατήρηση αναλυτικού βαθμολογίου για τις ενδοεξαμηνιαίες δραστηριότητες την επικοινωνία με τους φοιτητές. Χρήση Appointment Scheduling System για την οργάνωση των εκτός των διαλέξεων συναντήσεων των φοιτητών με τον διδάσκοντα. Χρήση Survey Web Application για την υποβολή ανώνυμης κριτικής σχετικά με το μάθημα. Χρήση Wiki Engine για την δημοσίευση εγχειριδίων σχετικά με τους κανονισμούς των εξετάσεων, τον τρόπο διεξαγωγής του μαθήματος, τον τρόπο βαθμολόγησης του μαθήματος και την παροχή οδηγιών σχετικά με την χρήση των διαδικτυακών εργαλείων που χρησιμοποιούνται στο μάθημα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες 70.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνικά και Αγγλικά. Διαδικασία αξιολόγησης των φοιτητών: Απαλλακτικές εβδομαδιαίες διαλέξεις - προφορικές εξετάσεις των φοιτητών, σε συνδυασμό με εβδομαδιαίες γραπτές εργασίες. Σε κάθε περίπτωση, όλοι ανεξαιρέτως οι φοιτητές έχουν δικαίωμα συμμετοχής στην Εξεταστική Περίοδο που έπεται του τέλους του Εξαμήνου. Όλα τα προαναφερθέντα, συμπεριλαμβανομένων όλων των σχετικών κριτηρίων, αναγράφονται λεπτομερώς στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Γίνεται επεξήγηση τους, στα πλαίσια των διαλέξεων, κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Γίνονται ενημερώσεις και υπενθυμίσεις μέσω της ιστοσελίδας του μαθήματος κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Παρέχονται όσες διευκρινίσεις ζητηθούν μέσω email ή ιστοχώρων κοινωνικής δικτύωσης και των εφαρμογών τους.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

• R. Bartle - The Elements of Integration and Lebesgue Measure
• H. Bauer - Measure and Integration Theory
• H.S. Bear - A Primer of Lebesgue Integration
• V.I. Bogachev - Measure theory
• R.M. Dudley - Real Analysis and Probability
• G. Folland - Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications
• D.H. Fremlin - Measure Theory
• P. Halmos - Measure theory
• M.E. Munroe - Introduction to Measure and Integration
• M.M. Rao - Random and Vector Measures
• E. Stein and R. Skakarchi - Real Analysis
• T. Tao - An Introduction to Measure Theory
• N. Weaver - Measure Theory and Functional Analysis