Γενική Τοπολογία (AN2)

Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΑΝ2
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	ΓΕΝΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Γενικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, το Σύστημα Διαχείρισης Μάθησης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά αποτελέσματα με βάση την Ταξινόμηση κατά Bloom. Γνώση: Η έννοια του τοπολογικού χώρου, του ανοικτού και κλειστού συνόλου, του εσωτερικού και της κλειστής θήκης συνόλου. Συνεχείς συναρτήσεις σε τοπολογικούς χώρους. Αξιώματα διαχωρισμού. Η έννοια της σύγκλισης σε τοπολογικούς χώρους. Μετρικοί χώροι και μετρικοποιήσιμοι χώροι. Διάσταση τοπολογικού χώρου. Διάσταση μετρικοποίησιμου χώρου. Κατανόηση: Μέθοδοι δημιουργίας τοπολογιών. Ομοιομορφισμοί. Χώροι Frechet. Πράξεις τοπολογικών χώρων. Χώροι συναρτήσεων. Συμπαγείς χώροι, τοπικά συμπαγείς χώροι, συμπαγοποιήσεις, αριθμήσιμα συμπαγείς χώροι, ψευδοσυμπαγείς χώροι, ακολουθιακά συμπαγείς χώροι. Ολικά φραγμένοι και πλήρεις μετρικοί χώροι. Παρασυμπαγείς χώροι, αριθμήσιμα παρασυμπαγείς χώροι. Συνεκτικοί χώροι, είδη μη-συνεκτικότητας. Ομοιόμορφοι χώροι, ολικά φραγμένοι, πλήρεις και συμπαγείς ομοιόμορφοι χώροι, χώροι προσέγγισης. Εφαρμογή: Πλήρης μελέτη τοπολογικών χώρων. Πλήρης μελέτη συνεχών συναρτήσεων σε τοπολογικούς χώρους. Αξιολόγηση: Διδασκαλία μαθημάτων προπτυχιακού επιπέδου.

Γενικές Ικανότητες

Προαγωγή της δημιουργικής, αναλυτικής και επαγωγικής σκέψης. Είναι προαπαιτούμενο για την παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών. Αυτόνομη εργασία. Ομαδική εργασία. Λήψη αποφάσεων.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Τοπολογικοί χώροι, μέθοδοι κατασκευής τοπολογικών χώρων, συνεχείς απεικονίσεις, αξιώματα διαχωρισμού, χώροι Frechet, υπόχωροι, καρτεσιανά γινόμενα, χώροι πηλίκο, χώροι συναρτήσεων, συμπαγείς χώροι, τοπικά συμπαγείς χώροι, συμπαγοποιήσεις, αριθμήσιμα συμπαγείς χώροι, ψευδοσυμπαγείς χώροι, ακολουθιακά συμπαγείς χώροι, ολικά φραγμένοι και πλήρεις μετρικοί χώροι, παρασυμπαγείς χώροι, αριθμήσιμα παρασυμπαγείς χώροι, συνεκτικοί χώροι, είδη μη-συνεκτικότητας, διάσταση τοπολογικών χώρων και ιδιότητες της, ομοιόμορφοι χώροι, ολικά φραγμένοι, πλήρεις και συμπαγείς ομοιόμορφοι χώροι, χώροι προσέγγισης.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Διαλέξεις σε αμφιθέατρο. Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση Learning Management System (ενδεικτικά: Moodle).
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση Learning Management System (ενδεικτικά: Moodle), σε συνδυασμό με File Sharing and Communication Platform (ενδεικτικά: NextCloud) για τον διαμερισμό διδακτικού υλικού, την υποβολή εκ μέρους των φοιτητών εργασιών, την ενημέρωση των φοιτητών σχετικά με ότι αφορά το μάθημα, τη διατήρηση αναλυτικού βαθμολογίου για τις ενδοεξαμηνιαίες δραστηριότητες την επικοινωνία με τους φοιτητές. Χρήση Web Appointment Scheduling System (ενδεικτικά: Easy!Appointments) για την οργάνωση των επισκέψεων των φοιτητών στο γραφείο του διδάσκοντα. Χρήση υπηρεσιών της Google για την υποβολή ανώνυμης κριτικής σχετικά με το μάθημα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Παρακολούθηση διαλέξεων 39 Μελέτη και ανάλυση βιβλιογραφίας 78 Συγγραφή εργασιών και διαδραστική διδασκαλία 70.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνικά και Αγγλικά. Διαδικασία αξιολόγησης των φοιτητών: Απαλλακτικές εβδομαδιαίες διαλέξεις - προφορικές εξετάσεις από τους φοιτητές, σε συνδυασμό με εβδομαδιαίες γραπτές εργασίες. Σε κάθε περίπτωση, όλοι ανεξαιρέτως οι φοιτητές έχουν δικαίωμα συμμετοχής στην Εξεταστική Περίοδο που έπεται του τέλους του Εξαμήνου. Όλα τα προαναφερθέντα, συμπεριλαμβανομένων όλων των σχετικών κριτηρίων, αναγράφονται λεπτομερώς στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Γίνεται επεξήγηση τους, στα πλαίσια των διαλέξεων, κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Γίνονται ενημερώσεις και υπενθυμίσεις μέσω της ιστοσελίδας του μαθήματος κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Παρέχονται όσες διευκρινίσεις ζητηθούν μέσω email ή ιστοχώρων κοινωνικής δικτύωσης και των εφαρμογών τους.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

1. Ryszard Engelking - General Topology.
2. James Munkres - Topology.
3. John Kelley - General Topology.