Γεωμετρία Riemann (ΓΕ3)

Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΓΕ3
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού Υπόβαθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	Διαφορική Γεωμετρία (ΓΕ2)
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, το Σύστημα Διαχείρισης Μάθησης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα	Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στις θεμελιώδεις έννοιες της Γεωμετρίας Riemann. Εισάγονται βασικές έννοιες, όπως μετρική Riemann, συνοχή Levi-Civita, ολονομία, τανυστής καμπυλότητας, καμπυλότητα τομής, καμπυλότητα Ricci, αριθμητική καμπυλότητα και πεδία Jacobi. Στο τέλος του μαθήματος περιμένουμε από τον μεταπτυχιακό φοιτητή να έχει κατανοήσει τις έννοιες, τους ορισμούς και τα κύρια θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα. Επίσης, περιμένουμε ο μεταπτυχιακός φοιτητής να είναι πλέον σε θέση να μελετήσει και να κατανοήσει ερευνητικά άρθρα στην περιοχή της Γεωμετρίας Riemann και της Γεωμετρικής Ανάλυσης.
Γενικές Ικανότητες	Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο φοιτητής να αποκτήσει ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων στη Γεωμετρία Riemann και Γεωμετρική Ανάλυση.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Μετρικές Riemann, ισομετρίες, σύμμορφες απεικονίσεις.
Γεωδαισιακές και εκθετική απεικόνιση.
Παράλληλη μεταφορά και ολονομία.
Το θεώρημα Hopf-Rinow.
Τανυστής καμπυλότητας, καμπυλότητα Ricci, αριθμητική καμπυλότητα.
Yποπολυπτύγματα Riemann.
Εξισώσεις Gauss-Codazzi-Ricci.
Πρώτη και δεύτερη μεταβολή μήκους.
Πεδία Jacobi.
Θεωρήματα συγκρίσεως.
To ομοιομορφικό θεώρημα της σφαίρας.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης

Πρόσωπο με πρόσωπο

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

Οργάνωση Διδασκαλίας

Δραστηριότητα	Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις	39
Αυτοτελής Μελέτη	78
Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες	70.5
Σύνολο Μαθήματος	187.5

Αξιολόγηση Φοιτητών

Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhaüser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.
J.-Η. Eschenburg, Comparison theorems in Riemannian Geometry, Lecture Notes, Universität Augsburg, 1994.
J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Seventh edition, Universitext, Springer, 2017.
J. Lee, Riemannian manifolds: An introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics, 176, Springer, 1997.
P. Petersen, Riemannian Geometry, Third edition, Graduate Texts in Mathematics, 171, Springer, 2016.
Δ. Κουτρουφιώτης, Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, 1994.