Wiki Τμήματος Μαθηματικών
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις I (MAE614)

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις I (MAE614)

Από Wiki Τμήματος Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος MAE614
Εξάμηνο 6
Τίτλος Μαθήματος ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ I
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες Διαλέξεις, παρουσιάσεις και Ασκήσεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος Ειδικού Υποβάθρου.
Προαπαιτούμενα Μαθήματα Δεν υπάρχουν.
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
  • Γλώσσα διδασκαλίας στο πλαίσιο των διαλέξεων: Ελληνικά.
  • Γλώσσα διδασκαλίας εκτός διαλέξεων: Ελληνικά και Αγγλικά.
  • Γλώσσα εξετάσεων: Ελληνικά και Αγγλικά.
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus Ναι.
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα Μαθησιακά αποτελέσματα με βάση την Ταξινόμηση κατά Bloom.


Γνώση:

  1. Η έννοια του συστήματος πρώτης τάξης διαφορικών εξισώσεων.
  2. Η έννοια του γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων.
  3. Η έννοια του ομογενούς γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων.
  4. Η έννοια του βασικού συνόλου λύσεων ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων.
  5. Η έννοια του βασικού πίνακα ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων.
  6. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές.
  7. Ομοιότητα πινάκων.
  8. Κανονική μορφή Jordan.
  9. Η έννοια του αυτόνομου συστήματος.
  10. Η έννοια του χώρου φάσεων.
  11. Η έννοια του κρίσιμου σημείου για ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων.
  12. Η έννοια του κανονικού κόμβου, του μη-κανονικού κόμβου, του σαγματικού σημείου και του σημείου σπείρας για ένα χώρο φάσεων.
  13. Η έννοια της ευστάθειας για συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
  14. Η έννοια του σημείου ισορροπίας.
  15. Οι έννοιες της ασυμπτωτικής ευστάθειας και της αστάθειας του σημείου ισορροπίας.
  16. Η έννοια της ασυμπτωτικής ισοδυναμίας συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
  17. Η έννοια του δυναμικού συστήματος.

Κατανόηση:

  1. Συνθήκες για την ύπαρξη λύσεων διαφορικών εξισώσεων.
  2. Συνθήκες για την μοναδικότητα λύσεων διαφορικών εξισώσεων.
  3. Εύρεση του μέγιστου πεδίου ορισμού για λύσεις διαφορικών εξισώσεων.
  4. Συνθήκες για την ύπαρξη λύσεων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
  5. Συνθήκες για την μοναδικότητα λύσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
  6. Εύρεση του μέγιστου πεδίου ορισμού λύσεων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
  7. Η ανισότητα Gronwall.
  8. Η μέθοδος μεταβολής των σταθερών για την επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
  9. Μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς λύσεων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
  10. Μελέτη αυτόνομων συστημάτων.
  11. Εύρεση του χώρου φάσεων λύσεων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
  12. Μελέτη γραμμικών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με περιοδικούς συντελεστές.
  13. Εξάρτηση των λύσεων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων από τις αρχικές συνθήκες.
  14. Μελέτη της ευστάθειας συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
  15. Χρήση της μεθόδου Lyapunov για την μελέτη της ευστάθειας συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
  16. Μελέτη δυναμικών συστημάτων.

Εφαρμογή:

  1. Μελέτη ταλαντώσεων οι οποίες δεν τείνουν σε κατάσταση ισορροπίας.
  2. Μελέτη της κίνησης του εκκρεμούς.
  3. Μελέτη συστημάτων θηρευτή - θηράματος.

Αξιολόγηση: Διδασκαλία μαθημάτων λυκειακού και πανεπιστημιακού επιπέδου.

Γενικές Ικανότητες
  • Προαγωγή της δημιουργικής, αναλυτικής και επαγωγικής σκέψης.
  • Είναι προαπαιτούμενο για την παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών.
  • Αυτόνομη εργασία.
  • Ομαδική εργασία.
  • Λήψη αποφάσεων.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Το μάθημα αποτελεί συνέχεια του υποχρεωτικού μαθήματος “Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις” και μπορεί να θεωρηθεί ότι απαρτίζεται από δύο μέρη, τα οποία αλληλοσυνδέονται. Το πρώτο μέρος αποτελείται από τη μελέτη συνήθων διαφορικών εξισώσεων ως προς ποιοτικές τους ιδιότητες, και το δεύτερο μέρος αποτελείται από τη μελέτη μεθόδων επίλυσης και τη μελέτη ποιοτικών ιδιοτήτων συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων.

  • Στο πρώτο μέρος, μελετάται η ύπαρξη, το μονοσήμαντο, η έκταση και η εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες λύσεων προβλημάτων αρχικών τιμών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις.
  • Στο δεύτερο μέρος, μελετώνται συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Μελετάται η ύπαρξη και το μονοσήμαντο των λύσεων τους, η εύρεση λύσεων ειδικών κατηγοριών τέτοιων συστημάτων, ο χώρος φάσεων τους και η ευστάθεια τους. Επίσης, παρουσιάζονται τα Θεωρήματα Lyapunov.

Για όλα τα παραπάνω, δίνονται εφαρμογές από φυσικές επιστήμες.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης
  • Διαλέξεις σε αμφιθέατρο.
  • Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση Learning Management System.
  • Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση forums για την εξάσκηση των φοιτητών στην επίλυση ασκήσεων και την κατανόηση της θεωρίας.
  • Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση βιντεοσκοπήσεων.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
  • Χρήση Learning Management System, σε συνδυασμό με File Sharing Platform και Blog Management System για
    1. τον διαμερισμό διδακτικού υλικού,
    2. την υποβολή εκ μέρους των φοιτητών εργασιών,
    3. την δημοσίευση ανακοινώσεων σχετικών με το μάθημα,
    4. τη διατήρηση αναλυτικού βαθμολογίου για τις ενδοεξαμηνιαίες δραστηριότητες
    5. την επικοινωνία με τους φοιτητές.
  • Χρήση Appointment Scheduling System για την οργάνωση των εκτός των διαλέξεων συναντήσεων των φοιτητών με τον διδάσκοντα.
  • Χρήση Survey Web Application για την υποβολή αιτήσεων και ανώνυμης κριτικής σχετικά με το μάθημα.
  • Χρήση Wiki Engine για την δημοσίευση εγχειριδίων σχετικά με τους κανονισμούς των εξετάσεων, τον τρόπο διεξαγωγής του μαθήματος, τον τρόπο βαθμολόγησης του μαθήματος και την παροχή οδηγιών σχετικά με την χρήση των διαδικτυακών εργαλείων που χρησιμοποιούνται στο μάθημα.
Οργάνωση Διδασκαλίας
Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις (13Χ3) 39
Αυτοτελής Μελέτη 78
Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 33
Σύνολο Μαθήματος 150
Αξιολόγηση Φοιτητών Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνικά και Αγγλικά. Διαδικασία αξιολόγησης των φοιτητών:
  • Εβδομαδιαίες γραπτές εργασίες.
  • Μικρής διάρκειας, ολιγάριθμα διαγωνίσματα κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.
  • Μια απαλλακτική εξέταση κατά το τέλος του εξαμήνου και, σε κάθε περίπτωση, πριν την έναρξη της εξεταστικής περιόδου, στην οποία έχει δικαίωμα συμμετοχής περιορισμένος αριθμός φοιτητών με βάση τις αποδόσεις συμμετοχής στις εβδομαδιαίες εργασίες και στα διαγωνίσματα.
  • Σε κάθε περίπτωση, όλοι ανεξαιρέτως οι φοιτητές έχουν δικαίωμα συμμετοχής στην Εξεταστική Περίοδο που έπεται του τέλους του Εξαμήνου.

Όλα τα προαναφερθέντα, συμπεριλαμβανομένων όλων των σχετικών κριτηρίων, αναγράφονται λεπτομερώς στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Γίνεται επεξήγηση τους, στα πλαίσια των διαλέξεων, κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Γίνονται ενημερώσεις και υπενθυμίσεις μέσω της ιστοσελίδας του μαθήματος κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Παρέχονται όσες διευκρινίσεις ζητηθούν μέσω email ή ιστοχώρων κοινωνικής δικτύωσης και των εφαρμογών τους.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

Πρότυπο:MAE614-Biblio

Ανακτήθηκε από «https://wiki.math.uoi.gr/index.php?title=Συνήθεις_Διαφορικές_Εξισώσεις_I_(MAE614)&oldid=3106»