Θέματα Πτυχιακής Εργασίας 2024-2025

Παρακαλούμε, δείτε τον Κανονισμό Εκπόνησης Πτυχιακής Εργασίας πριν επιλέξετε θέμα και πριν έρθετε σε επαφή με τον διδάσκοντα. Ο Κανονισμός Εκπόνησης Πτυχιακής Εργασίας περιλαμβάνει προϋποθέσεις, διαδικασίες και προβλέψεις τις οποίες πρέπει να γνωρίζετε πριν κάνετε οποιαδήποτε περαιτέρω ενέργεια.

Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης

Μαυρίδης Κυριάκος (Λέκτορας)

Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.

Απόλυτα Συνεχείς Συναρτήσεις (Absolutely Continuous Functions): Συνιστώμενες γνώσεις: Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση.; Οι απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις είναι ακριβώς εκείνες οι σχεδόν παντού παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού. Κάθε απόλυτα συνεχής συνάρτηση είναι και συνεχής, αλλά το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Η έννοια της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης σχετίζεται με την έννοια του απόλυτα συνεχούς μέτρου, αλλά αυτές οι δύο έννοιες είναι διακριτές. Δείτε την Wikipedia και την EncyclopediaOfMath για να αποκτήσετε μια πρώτη εικόνα για το αντικείμενο. Το αντικείμενο της εργασίας είναι: (1) η παρουσίαση της έννοιας της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης, (2) η ανάλυση της χρησιμότητας της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης, (3) η πλήρης ανάπτυξη της σχέσης της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης με τις έννοιες της συνέχειας, της ομοιόμορφης συνέχειας, της συνεχούς διαφορισιμότητας, της κατά Lipchitz συνέχειας, της φραγμένης μεταβολής και της διαφορισιμότητας σχεδόν παντού, (4) η ανάπτυξη των βασικών ιδιοτήτων των απόλυτα συνεχών συναρτήσεων, και (5) η όχι εκτεταμένη παρουσίαση της σχέσης της απόλυτης συνέχειας συνάρτησης με την έννοια του απόλυτα συνεχούς μέτρου. Βιβλία Πραγματικής Ανάλυσης, Συναρτησιακής Ανάλυσης, Θεωρίας Μέτρου, καθώς και εισαγωγικών γνώσεων του αντικειμένου της Μαθηματικής Ανάλυσης, είναι αρκετά πιθανό να περιέχουν σε μικρό ή μεγάλο βαθμό υλικό που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αυτή την εργασία. Ενδεικτική βιβλιογραφία: (1) Bruckner, Bruckner and Thomson, "Real Analysis", (2) Hewitt and Stromberg, "Real and abstract analysis", και (3) Royden, "Real Analysis".
Θεωρήματα Σταθερού Σημείου σε Ασθενή Τοπολογία (Fixed Point Theory under Weak Topology): Συνιστώμενες γνώσεις: Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση.; Το αντικείμενο αυτής της εργασίας ταυτίζεται με την ανάπτυξη του ομότιτλου κεφαλαίου του βιβλίου των Jeribi και Krichen Nonlinear Functional Analysis in Banach Spaces, καθώς και με εφαρμογές των θεωρητικών αποτελεσμάτων που αυτό περιλαμβάνει. Για την επαρκή ανάπτυξη του αντικειμένου είναι εύλογο να χρησιμοποιηθούν και άλλα κεφάλαια του συγκεκριμένου βιβλίου ή άλλες πηγές. Το εν λόγω κεφάλαιο αναπτύσσει θεωρήματα σταθερού σημείου σε χώρους εφοδιασμένους με ασθενείς τοπολογίες. Άλλα κεφάλαια του βιβλίου παρουσιάζουν εφαρμογές αυτών των θεωρημάτων. Καθώς το αντικείμενο δύναται να ευνοεί την εκτεταμένη ανάπτυξη, είναι σημαντικό να γίνει λελογισμένη επιλογή της ύλης που θα παρουσιαστεί στην εργασία και να μην υπάρχει υπέρμετρη απόκλιση από τα πλαίσια του συγκεκριμένου βιβλίου.
Κλασματικός Λογισμός (Fractional Calculus): Συνιστώμενες γνώσεις: Πραγματική και Συναρτησιακή Ανάλυση.; Ο Κλασματικός Λογισμός αποτελεί μια επέκταση του κλασικού Απειροστικού Λογισμού, σε παραγώγους και ολοκληρώματα των οποίων η τάξη δεν είναι αναγκαστικά φυσικός αριθμός. Ο τρόπος ορισμού τέτοιων παραγώγων και ολοκληρωμάτων δεν είναι αναγκαστικά μοναδικός, με συνέπεια να υφίστανται διάφορες εκδοχές τέτοιων επεκτάσεων. Δείτε την Wikipedia και την EncyclopediaOfMath για να αποκτήσετε μια πρώτη εικόνα για το αντικείμενο. Το αντικείμενο της εργασίας είναι: (1) η παρουσίαση της έννοιας του κλασματικού ολοκληρώματος και της κλασματικής παραγώγου, (2) η παρουσίαση των διαφόρων εκδοχών κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (3) η επεξήγηση της σχέσης των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων με τα συνήθη ανάλογα τους, (4) η παρουσίαση των βασικών ιδιοτήτων των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (5) η ενδεικτική παρουσίαση πρακτικών εφαρμογών των κλασματικών ολοκληρωμάτων και παραγώγων, (6) η ειδική αναφορά σε διαφορικές εξισώσεις που περιλαμβάνουν κλασματικά ολοκληρώματα και παραγώγους και στους τρόπους μελέτης αυτών. Υπάρχει πληθώρα βιβλίων με αποκλειστικό περιεχόμενο τέτοιου είδους ολοκληρώματα και παραγώγους. Ενδεικτική βιβλιογραφία: (1) Das, "Functional Fractional Calculus", (2) Podlubny, "Fractional Differential Equations". Καθώς το αντικείμενο δύναται να ευνοεί την εκτεταμένη ανάπτυξη, είναι σημαντικό να γίνει λελογισμένη επιλογή της ύλης που θα παρουσιαστεί στην εργασία.

Τομέας Άλγεβρας και Γεωμετρίας

Σάββας-Χαλιλάι Ανδρέας (Αναπληρωτής Καθηγητής)

Δεν έχουν τεθεί προαπαιτούμενα μαθήματα επιλογής.

Ελαχιστικές επιφάνειες και το πρόβλημα του Plateau: Μια ελαχιστική επιφάνεια χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα ότι “μικρή" μεταβολή της θα αυξίσει το εμβαδό της. Το πρόβλημα του Plateau αφορά την εύρεση μιας ελαχιστικής επιφάνειας όταν το σύνορο της είναι δεδομένο. Το ερώτημα είχε τεθεί πρώτα από τον Joseph-Luis Lagrange το 1970, αλλά πήρε το όνομά του από τον Joseph Plateau που έκανε πειράματα με ταινίες σαπουνιού. Το πρόβλμα θεωρείται μέρος του Λογισμού Μεταβολών. Αξίζει να σημειώθει ότι λύθηκε πλήρως το 1930, ανεξάρτητα, από τους Jesse Douglas (δείτε το λινκ εδώ) και Tibor Rado (δείτε το λινκ εδώ). Επίσης, οι μέθοδοι που αναπτύχθηκαν από Douglas και Rado ήταν διαφορετικοί μεταξύ τους. Ο Douglas βραβεύτηκε με το Fields Medal το 1936 για την εργασία του πάνω σε αυτό το πρόβλημα. Στόχος αύτης της δράσης θα είναι η διεξοδική μελέτη ελαχιστικών επιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο, της απεικόνισης Gauss, της λύσης του προβλήματος του Plateau σε ειδικές περιπτώσεις καθώς και η μοναδικότητά της λύσης. Προαπαιτούμενα μαθήματα είναι η Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία και ο Διαφορικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) T. Colding and W. Minicozzi, A course in minimal surfaces, AMS, 2011, (2) R. Osserman, A survey of minimal surfaces, Dover Publications, 1989.

Ομοτοπία, ισοτοπία και βαθμός Hopf: Εδώ θα μελετήσουμε προβλήματα που άπτονται των περιοχών της Γεωμετρίας και Τοπολογίας. Το κύριο ερώτημα με το οποίο θα ασχοληθούμε σε αυτή τη δράση είναι πώς καταλαβαίνουμε ότι δύο συνεχείς απεικονίσεις μεταξύ τοπολογικών χώρων ή γενικά δύο σχήματα είναι διαφορετικά. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι δύο συνεχής κλειστές καμπυλές σε μια επιφάνεια είναι διαφορετικές όταν δεν υπάρχει συνεχής παραμόρφωση της μιας πάνω στη άλλη. Αντιλαμβανόμαστε ότι το “σχήμα” του περιβάλλοντα χώρου παίζει σημαντικό ρόλο στην απάντηση του προβλήματος. Λόγου χάριν, στη σφαίρα κάθε συνεχής κλειστή καμπύλη δύναται να παραμορφωθεί σε σημείο ενώ στον τόρο όχι απαραίτητα. Προαπαιτούμενα είναι γνώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας και Διαφορικού Λογισμού Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) M. A. Armstrong, Basic topology, UTM, Springer-Verlag, 1983, (2) K. Janich, Topology, UTM, Springer-Verlag, 2012, (3) J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Univ. of Virginia, 1965.

Σύμμορφες απεικονίσεις στον ευκλείδειο χώρο.: Στόχος αυτής της δράσης είναι να μελετήσουμε την γεωμετρία των σύμμορφων απεικονίσεων στον n-διάστατο ευκλείδειο χώρο. Θα εισαγάγουμε τις ιδιάζουσες τιμές μιας λείας απεικόνισης, μέσω των οποίων θα δώσουμε μια γεωμετρική ερμηνεία της συμμορφίας. Επίσης, θα δείξουμε το θεώρημα του Καραθεωδορή και το θεώρημα του Liouville για σύμμορφες απεικονίσεις στον (n>2)-διάστατο χώρο. Δεν απαιτείται καμία ιδιαίτερη γνώση, πέρα από στοιχειώδη Γραμμική Άλγεβρα και Λογισμό Πολλών Μεταβλητών. Βιβλιογραφία: (1) D. Blair, Inversion theory and conformal mapping, Student Mathematical Library, Vol. 9, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.