Περιγράμματα Μεταπτυχιακών Μαθημάτων - Τμήμα Μαθηματικών
Γενικά
| Σχολή
|
Σχολή Θετικών Επιστημών
|
| Τμήμα
|
Τμήμα Μαθηματικών
|
| Επίπεδο Σπουδών
|
Μεταπτυχιακό
|
| Κωδικός Μαθήματος
|
ΓΕ4
|
| Εξάμηνο
|
2
|
| Τίτλος Μαθήματος
|
ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
|
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
|
Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
|
| Τύπος Μαθήματος
|
Ειδικού Υπόβαθρου Υπόβαθρου, Ανάπτυξης ιδιαίτερων Δεξιοτήτων στην τοπολογία - γεωμετρία - άλγεβρα
|
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
ΓΕ5 Αλγεβρική Τοπολογία I, Διαφορική Γεωμετρία (ΓΕ2)
|
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
|
Ελληνική
|
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
|
Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
|
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
|
Δείτε το eCourse, το Σύστημα Διαχείρισης Μάθησης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα
|
H γέννηση της διαφορικής τοπολογίας έγινε από τους G. De Rham και E. Cartan. Συνήθως με την ύπαρξη μιας πολλαπλότητας-πολυπτύγματος υπάρχει και μια έξτρα δομή όπως π.χ. η μετρική Riemann. Στον κλάδο της Διαφορικής τοπολογίας η πολλαπλότητα-πολύπτυγμα μελετάται χωρίς να λαμβάνεται υπόψιν η έξτρα δομή. Οι συνήθεις ερωτήσεις που απαντώνται σε ένα εισαγωγικό μάθημα διαφορικής τοπολογίας είναι: Αν δύο πολλαπλότητες-πολυπτύγματα είναι ομοιομορφικά είναι και διαφορομορφικά; Μπορεί μια πολλαπλότητα-πολύπτυγμα να εμβαπτιστεί σε μία άλλη; Είναι σύνορο κάποιας άλλης; Δέχεται δράση ομάδας; Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση εφαρμογών της Αλγεβρικής Τοπολογίας και Διαφορικής Γεωμετρίας στη μελέτη τοπολογικών αναλλοιώτων διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων-πολυπτυγμάτων. Μία από τις ισχυρότερες συνδέσεις μεταξύ αλγεβρικής και διαφορικής τοπολογίας είναι οι εφαπτόμενες δέσμες και αυτές αποτελούν κάποιες από τις βαθύτερες αναλλοίωτους για τους διαφορομορφισμούς. Η κατεύθυνση αυτή συνδέει τη θεωρία ομοτοπίας με την ομάδα των διαφορομορφισμών μιας πολλαπλότητας-πολυπτύγματος. Έμφαση δίνεται στη θεωρία των κρίσιμων σημείων του Morse και στο θεώρημα Morse-Sard. Επίσης, θα δοθούν διάφορες εφαρμογές στη θεωρία υποπολυπτυγμάτων. Στο τέλος του μαθήματος, ο μεταπτυχιακός φοιτητής θα είναι σε θέση να μελετάει νέα ερευνητικά άρθρα που θα του είναι απαραίτητα για την εκπόνηση μεταπτυχιακής ή διδακτορικής διατριβής.
|
| Γενικές Ικανότητες
|
- Η μετάβαση και ευχέρεια κατανόησης δύσκολων μαθηματικών αποδείξεων.
- Αυτόνομη εργασία ώστε να έχουν την ευκαιρία να βελτιώσουν την ικανότητά τους για συγγραφή ατομικών μαθηματικών κειμένων στη περιοχή της διαφορικής τοπολογίας.
- Παροχή ανώτερων γνώσεων ώστε να μπορούν να κατανοήσουν - αναλύσουν προχωρημένα γεωμετρικά προβλήματα.
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
- Ομολογία και συνομολογία.
- Διανυσματικές δέσμες.
- Βαθμός απεικόνισης, Χαρακτηριστική Euler.
- Αριθμοί Betti.
- Συγκόλληση πολυπτυγμάτων.
- Συνορισμός, ο ομομορφισμός του Thom.
- Συναρτήσεις Morse.
- Το θεώρημα των Morse - Sard.
- Περνώντας από κρίσιμες τιμές.
- Προσάρτηση χειρολαβών.
- Κυτταρική διάσπαση πολυπτυγμάτων.
- Το θεώρημα του Reeb.
- Ανισότητες Morse.
- Ολική καμπυλότητα και απεικόνιση Gauss.
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης
|
Πρόσωπο με πρόσωπο
|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|
.
|
| Οργάνωση Διδασκαλίας
|
| Δραστηριότητα
|
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|
| Διαλέξεις
|
39
|
| Αυτοτελής Μελέτη
|
78
|
| Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες
|
70.5
|
| Σύνολο Μαθήματος
|
187.5
|
|
| Αξιολόγηση Φοιτητών
|
Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.
|
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
- T. Bröcker, K. Jänich, Introduction to differential topology, Cambridge Univ. Press, 1982.
- V. Guillemin and A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, 1974.
- J. Milnor, Morse Theory, Annals of Mathematical Studies, 51. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
- J. Milnor, Topology from a differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville, Va. 1965.