Μιγαδικές Συναρτήσεις I (MAY611): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Τελευταία αναθεώρηση της 16:03, 16 Αυγούστου 2024

English version
Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων
Τροποποίηση Περιγράμματος (η δυνατότητα αυτή απευθύνεται αποκλειστικά στα μέλη ΔΕΠ του Τμήματος)
Τμήμα Μαθηματικών
Αποθήκευση ως PDF ή Εκτύπωση (για αποθήκευση ως PDF, κάντε την σχετική επιλογή στη λίστα εκτυπωτών που θα εμφανιστεί)

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAY611
Εξάμηνο	6
Τίτλος Μαθήματος	ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις, παρουσιάσεις και Ασκήσεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 5, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Επιστημονικής Περιοχής
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα	Το μάθημα εισάγει τους φοιτητές στο αντικείμενο της Μιγαδικής Ανάλυσης. Συγκεκριμένα, εισάγεται το σώμα των μιγαδικών αριθμών, ως επέκταση του σώματος των πραγματικών αριθμών, και η αναπαράστασή του μέσω του μιγαδικού επιπέδου και μελετώνται οι ιδιότητές του, αλγεβρικές, τοπολογικές και γεωμετρικές. Στη βάση αυτή, εισάγεται η έννοια της μιγαδικής συνάρτησης, όρια τέτοιων συναρτήσεων σε και προς σημείο ή το άπειρο, και η συνέχειά τους και εισάγονται, ως βασικότερες μιγαδικές συναρτήσεις, η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση. Έμφαση δίνεται στην κεντρική έννοια της μιγαδικής διαφορισιμότητας και ολομορφίας, στην ιδιαιτερότητα τέτοιων συναρτήσεων ως διδιάστατων διανυσματικών πεδίων και στη σημασία τους ως γεωμετρικών μετασχηματισμών του επιπέδου. Ακολουθεί η μελέτη δυναμοσειρών, αποδεικνύεται η ολομορφία τους και εισάγεται η έννοια της αναλυτικής συνάρτησης, ως συνάρτησης που αναπτύσσεται τοπικά σε δυναμοσειρά. Παρουσιάζονται τα αναπτύγματα σε δυναμοσειρά των βασικότερων μιγαδικών συναρτήσεων. Ο κορμός του μαθήματος κλείνει με την ολοκληρωτική θεωρία του Cauchy, που εκτός από την ταύτιση των εννοιών της ολόμορφης και της αναλυτικής συνάρτησης, οδηγεί σε πρώτες κλασικές σημαντικές ιδιότητες των ολόμορφων συναρτήσεων και αναδεικνύει τη δομική διαφορά τους σε σχέση με τις λείες πραγματικές συναρτήσεις, αλλά και τα λεία διδιάστατα διανυσματικά πεδία. Το μάθημα κλείνει με τις έννοιες των μεμονωμένων ανωμαλιών, της σειράς Laurent και του ολοκληρωτικού υπολοίπου και δίνονται παραδείγματα εφαρμογών τους για τη μελέτη γενικευμένων ολοκληρωμάτων πραγματικών συναρτήσεων. Το μάθημα αναπτύσσει εμφατικά τη δεξιότητα της συνδυαστικής εφαρμογής αποτελεσμάτων από διάφορες περιοχές των Μαθηματικών και φωτίζει παραδειγματικά τη βαθύτερη διασύνδεσή τους και τη χρησιμότητα μιας τέτοιας ολιστικής θεώρησης. Δείχνει επίσης το πως αναπτύσσονται τα Μαθηματικά και εξασκεί τους φοιτητές στο να ανακαλούν και να εφαρμόζουν γνώσεις που απέκτησαν σε ένα προηγούμενο στάδιο σε ένα νέο για αυτούς αντικείμενο. Τέλος, ως ένα από τα τελευταία χρονικά υποχρεωτικά μαθήματα βοηθάει σε μια επανάληψη πολλών γνώσεων που διδάχθηκαν οι φοιτητές έως τότε και σε μία πιο δεμένη επισκόπησή τους.
Γενικές Ικανότητες	Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις Αυτόνομη εργασία Σχεδιασμός και διαχείριση έργων Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

Περιεχόμενο Μαθήματος

Το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Αλγεβρικές και γεωμετρικές ιδιότητες. Βασικές μιγαδικές συναρτήσεις. Τοπολογία του μιγαδικού επιπέδου, ακολουθίες, όρια, συνέχεια συναρτήσεων. Μιγαδική διαφορισιμότητα και ολομορφία. Εξισώσεις Cauchy-Riemann. Καμπύλες στο μιγαδικό επίπεδο. Σύμμορφες απεικονίσεις. Δυναμοσειρές και αναλυτικές συναρτήσεις. Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις. Επικαμπύλια ολοκληρώματα, ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, ολοκληρωτική θεωρία Cauchy (δείκτης στροφής, Λήμμα Goursat, Ολοκληρωτικό Θεώρημα Cauchy, τύπος του Cauchy, Θεώρημα Αναπαράστασης Cauchy-Taylor) και συνέπειές της (Θεώρημα Liouville, Θεώρημα Morera, Θεώρημα Μοναδικότητας, Θεώρημα Επέκτασης του Riemann). Μεμονωμένες ανωμαλίες, μερόμορφες συναρτήσεις, σειρές Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης

Πρόσωπο με πρόσωπο

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

Στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο eCourse διατίθεται διδακτικό υλικό (προπτυχιακό εγχειρίδιο). Στην προσωπική ιστοσελίδα του διδάσκοντα για το μάθημα διατίθενται επιπλέον όλα τα παλαιότερα θέματα εξετάσεων.

Οργάνωση Διδασκαλίας

Δραστηριότητα	Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις (13Χ5)	65
Αυτοτελής Μελέτη	100
Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες	22.5
Σύνολο Μαθήματος	187.5

Αξιολόγηση Φοιτητών

Γραπτή τελική εξέταση.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

Γιαννούλης, Ι. (2024). Μιγαδική Ανάλυση [Προπτυχιακό εγχειρίδιο]. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. http://dx.doi.org/10.57713/kallipos-408
R. Remmert. Theory of Complex Functions. Springer, 1998.
S. Lang. Complex Analysis. Fourth Edition. Springer, 1999.

@@ Γραμμή 1: / Γραμμή 1: @@
-[[Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων]] - [https://math.uoi.gr Τμήμα Μαθηματικών]
+* [[Complex Functions I (MAY611)|English version]]
+{{Course-UnderGraduate-Top-GR}}
+{{Menu-OnAllPages-GR}}
 === Γενικά ===
@@ Γραμμή 26: / Γραμμή 28: @@
 | Διαλέξεις, παρουσιάσεις και Ασκήσεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 5, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
 |-
-! Τύπος Μαθήματος
+! [[Τύποι Προπτυχιακών Μαθημάτων|Τύπος Μαθήματος]]
-| Γενικού Υποβάθρου
+| Επιστημονικής Περιοχής
 |-
 ! Προαπαιτούμενα Μαθήματα
@@ Γραμμή 47: / Γραμμή 49: @@
 |-
 ! Μαθησιακά Αποτελέσματα
-| Αποτελεί το βασικό υποχρεωτικό μάθημα Μαθηματικής Ανάλυσης στις έννοιες του μιγαδικού χώρου. Συγκεκριμένα, ο φοιτητής αρχίζει να αντιλαμβάνεται την έννεοια του μιγαδικού αριθμού και γνωρίζει τις ιδιότητες αυτού. Επίσης, γνωρίζει τη χρησιμότητα των μιγαδικών αριθμών στην αντιμετώπιση προβλημάτων στον πραγματικό χώρο. Ανακαλύπτει πώς ορίζονται οι μιγαδικές ανάλογες των στοιχειωδών συναρτήσεων και στη συνέχεια βλέπει το μιγαδικό ολοκλήρωμα ως μια επέκταση του αντίστοιχου των πραγματικών συναρτήσεων. Αναγνωρίζει τα πλεονεκτίματα των ολόμορφων συναρτήσεων και τις ιδιότητες τούτων. Τέλος, διαπιστώνει τη μεγάλη χρησιμότητα της μιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση πραγματικών προβλημάτων και ιδιαίτερα στον υπολογισμό δύσκολων ολοκληρωμάτων πραγματικών συναρτήσεων.
+|
+Το μάθημα εισάγει τους φοιτητές στο αντικείμενο της Μιγαδικής Ανάλυσης. Συγκεκριμένα, εισάγεται το σώμα των μιγαδικών αριθμών, ως επέκταση του σώματος των πραγματικών αριθμών, και η αναπαράστασή του μέσω του μιγαδικού επιπέδου και μελετώνται οι ιδιότητές του, αλγεβρικές, τοπολογικές και γεωμετρικές. Στη βάση αυτή, εισάγεται η έννοια της μιγαδικής συνάρτησης, όρια τέτοιων συναρτήσεων σε και προς σημείο ή το άπειρο, και η συνέχειά τους και εισάγονται, ως βασικότερες μιγαδικές συναρτήσεις, η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση. Έμφαση δίνεται στην κεντρική έννοια της μιγαδικής διαφορισιμότητας και ολομορφίας, στην ιδιαιτερότητα τέτοιων συναρτήσεων ως διδιάστατων διανυσματικών πεδίων και στη σημασία τους ως γεωμετρικών μετασχηματισμών του επιπέδου. Ακολουθεί η μελέτη δυναμοσειρών, αποδεικνύεται η ολομορφία τους και εισάγεται η έννοια της αναλυτικής συνάρτησης, ως συνάρτησης που αναπτύσσεται τοπικά σε δυναμοσειρά. Παρουσιάζονται τα αναπτύγματα σε δυναμοσειρά των βασικότερων μιγαδικών συναρτήσεων. Ο κορμός του μαθήματος κλείνει με την ολοκληρωτική θεωρία του Cauchy, που εκτός από την ταύτιση των εννοιών της ολόμορφης και της αναλυτικής συνάρτησης, οδηγεί σε πρώτες κλασικές σημαντικές ιδιότητες των ολόμορφων συναρτήσεων και αναδεικνύει τη δομική διαφορά τους σε σχέση με τις λείες πραγματικές συναρτήσεις, αλλά και τα λεία διδιάστατα διανυσματικά πεδία. Το μάθημα κλείνει με τις έννοιες των μεμονωμένων ανωμαλιών, της σειράς Laurent και του ολοκληρωτικού υπολοίπου και δίνονται παραδείγματα εφαρμογών τους για τη μελέτη γενικευμένων ολοκληρωμάτων πραγματικών συναρτήσεων.
+Το μάθημα αναπτύσσει εμφατικά τη δεξιότητα της συνδυαστικής εφαρμογής αποτελεσμάτων από διάφορες περιοχές των Μαθηματικών και φωτίζει παραδειγματικά τη βαθύτερη διασύνδεσή τους και τη χρησιμότητα μιας τέτοιας ολιστικής θεώρησης. Δείχνει επίσης το πως αναπτύσσονται τα Μαθηματικά και εξασκεί τους φοιτητές στο να ανακαλούν και να εφαρμόζουν γνώσεις που απέκτησαν σε ένα προηγούμενο στάδιο σε ένα νέο για αυτούς αντικείμενο. Τέλος, ως ένα από τα τελευταία χρονικά υποχρεωτικά μαθήματα βοηθάει σε μια επανάληψη πολλών γνώσεων που διδάχθηκαν οι φοιτητές έως τότε και σε μία πιο δεμένη επισκόπησή τους.
 |-
 ! Γενικές Ικανότητες
 |
-* Αυτόνομη εργασία
+* Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών
-* ομαδική εργασία
+* Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις
-* Εργασία σε διεθνὲς περιβάλλον
+* Αυτόνομη εργασία
-* Εργασία σε διεπιστημονικὸ περιβάλλον
+* Σχεδιασμός και διαχείριση έργων
-* Παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών.
+* Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
 |}
 === Περιεχόμενο Μαθήματος ===
-Ορισμός του Συνόλου των Μιγαδικών αριθμών, το Μιγαδικό επίπεδο, Ρίζες, Ευθύγραμμα Τμήματα, Τοπολογία, Σύγκλιση, Σφαίρα του Riemann, αναλυτικές ιδιότητες Συναρτήσεων, Δυναμοσειρές, Στοιχειώδεις μιγαδικές συναρτήσεις (ρητές συναρτήσεις, η εκθετική συνάρτηση, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, υπερβολικές μιγαδικές συναρτήσεις, λογάριθμος, η συνάρτηση Δύναμη, η γενική εκθετική συνάρτηση), επικαμπύλια ολοκληρώματα, καμπύλες, σύμμορφες απεικονίσεις, ομοτοπικές Καμπύλες, τοπικές ιδιότητες συναρτήσεων, βασικά θεωρήματα, διατήρηση ολοκληρωμάτων, δείκτης στροφής, γενικά συμπεράσματα, ανώμαλα σημεία, σειρές Laurent, ολοκληρωτικά υπόλοιπα, θεώρημα Cauchy για τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα (ολοκλήρωμα τριγονομετρικών συναρτήσεων, ολοκλήρωμα γενικευμένο στο άπειρο, Ειδικές περιπτώσεις).
+Το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Αλγεβρικές και γεωμετρικές ιδιότητες. Βασικές μιγαδικές συναρτήσεις. Τοπολογία του μιγαδικού επιπέδου, ακολουθίες, όρια, συνέχεια συναρτήσεων. Μιγαδική διαφορισιμότητα και ολομορφία. Εξισώσεις Cauchy-Riemann. Καμπύλες στο μιγαδικό επίπεδο. Σύμμορφες απεικονίσεις. Δυναμοσειρές και αναλυτικές συναρτήσεις. Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις. Επικαμπύλια ολοκληρώματα, ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, ολοκληρωτική θεωρία Cauchy (δείκτης στροφής, Λήμμα Goursat, Ολοκληρωτικό Θεώρημα Cauchy, τύπος του Cauchy, Θεώρημα Αναπαράστασης Cauchy-Taylor) και συνέπειές της (Θεώρημα Liouville, Θεώρημα Morera, Θεώρημα Μοναδικότητας, Θεώρημα Επέκτασης του Riemann). Μεμονωμένες ανωμαλίες, μερόμορφες συναρτήσεις, σειρές Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα.
 === Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
@@ Γραμμή 70: / Γραμμή 75: @@
 |-
 ! Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
-| Χρήση Εξειδικευμένου Λογισμικού για την παρουσίαση και επικοινωνία και για την παράδοση ασκήσεων
+|
+Στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο eCourse διατίθεται διδακτικό υλικό (προπτυχιακό εγχειρίδιο). Στην προσωπική ιστοσελίδα του διδάσκοντα για το μάθημα διατίθενται επιπλέον όλα τα παλαιότερα θέματα εξετάσεων.
 |-
 ! Οργάνωση Διδασκαλίας
@@ Γραμμή 92: / Γραμμή 98: @@
 |-
 ! Αξιολόγηση Φοιτητών
-| Γραπτή τελική εξέταση (100%) που περιλαμβάνει:
+|
-* τμήματα της διδαχθείσης θεωρίας και
+Γραπτή τελική εξέταση.
-* επίλυση προβλημάτων σχετικών με τη θεωρία.
 |}