Θεωρία Αριθμών (MAY123)

• English version
• Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων
• Τροποποίηση Περιγράμματος (η δυνατότητα αυτή απευθύνεται αποκλειστικά στα μέλη ΔΕΠ του Τμήματος)
• Τμήμα Μαθηματικών
• Αποθήκευση ως PDF ή Εκτύπωση (για αποθήκευση ως PDF, κάντε την σχετική επιλογή στη λίστα εκτυπωτών που θα εμφανιστεί)

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAY123
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 4, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Επιστημονικής Περιοχής
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη της δομής και των βασικών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών των φυσικών αριθμών, και γενικότερα του συνόλου των ακεραίων ή/και των ρητών αριθμών. Η θεμελιώδης έννοια μέσω της οποίας επιτυγχάνεται αυτή η μελέτη είναι η διαιρετότητα φυσικών αριθμών και η ανάλυση ενός φυσικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Οι κυριότερες από τις βασικές έννοιες και ιδέες οι οποίες μας επιτρέπουν τη κατανόηση της δομής και των θεμελιωδών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών, είναι οι εξής (Λέξεις-Κλειδιά του μαθήματος): Διαιρετότητα, πρώτοι αριθμοί, Ευκλείδειος αλγόριθμος, μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Ισοτιμίες και συστήματα γραμμικών ισοτιμιών, Kινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων. Aριθμητικές συναρτήσεις και αντιστροφή του Moebius. Συνάρτηση του Euler. Θεωρήματα Fermat, Euler και Wilson. Aρχικές ρίζες mod p. Θεωρία δεικτών και τετραγωνικά υπόλοιπα. Νόμος τετραγωνικής αντιστροφής. Εφαρμογές στα Κρυπτοσυστήματα. Θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε διάφορα θεωρήματα τα οποία αφορούν την δομή του συνόλου των ακεραίων αριθμών με βάση την έννοια της διαιρετότητας. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα αναλυθούν εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών σε άλλες επιστήμες, και ιδιαίτερα στην Κρυπτογραφία. Το μάθημα αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά αποτελέσματα, στις βασικές μεθόδους, και στα βασικά προβλήματα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών, και δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις από άλλα μαθήματα του προγράμματος σπουδών. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο πτυχιούχος να αποκτήσει την ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Αριθμών. Ερχόμενος ο πτυχιούχος για πρώτη φορά σε επαφή με έννοιες της Θεωρίας Αριθμών, οι οποίες έχουν σημαντικές εφαρμογές στην καθημερινή ζωή, προάγεται η δημιουργική και επαγωγική σκέψη του, και η ικανότητά του να εφαρμόζει αφηρημένες γνώσεις σε διάφορα πεδία.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Μιγαδικοί Αριθμοί.
• Διαιρετότητα.
• Iσοδυναμίες mod m.
• Kινέζικο Θεώρημα υπολοίπων.
• Aριθμητικές συναρτήσεις και αντιστροφή του Moebius.
• Θεωρήματα Fermat, Euler και Wilson.
• Aρχικές ρίζες mod p.
• Θεωρία δεικτών και τετραγωνικά υπόλοιπα.
• Εφαρμογές στην κρυπτογραφία.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ4) 52 Αυτοτελής Μελέτη 104 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 31.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυση προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

• ---