Συναρτησιακή Ανάλυση (ΜΑΕ719): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Τελευταία αναθεώρηση της 18:42, 17 Αυγούστου 2024

English version
Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων
Τροποποίηση Περιγράμματος (η δυνατότητα αυτή απευθύνεται αποκλειστικά στα μέλη ΔΕΠ του Τμήματος)
Τμήμα Μαθηματικών
Αποθήκευση ως PDF ή Εκτύπωση (για αποθήκευση ως PDF, κάντε την σχετική επιλογή στη λίστα εκτυπωτών που θα εμφανιστεί)

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE719
Εξάμηνο	7
Τίτλος Μαθήματος	Συναρτησιακή Ανάλυση
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	Δεν υπάρχουν, αλλά είναι επιθυμητή η επιτυχής εξέταση στο μάθημα «Μετρικοί χώροι και η Τοπολογία τους».
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα	Οι στόχοι του μαθήματος είναι η εξοικείωση του φοιτητή με τις έννοιες, τα βασικά θεωρήματα και τις τεχνικές που αφορούν διανυσματικούς χώρους με νόρμα, χώρους Banach, τους φραγμένους γραμμικούς τελεστές μεταξύ αυτών και τους δυϊκούς χώρους. Με την ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής θα είναι σε θέση να αναγνωρίζει αν ένας χώρος με νόρμα είναι χώρος Banach, να υπολογίζει τη νόρμα ενός τελεστή και να έχει ευχέρεια στη χρήση των βασικών θεωρημάτων της Συναρτησιακής Ανάλυσης (Θεώρημα Hahn-Banach και συνέπειες αυτού, Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης, Θεώρημα του κλειστού γραφήματος, Θεώρημα Banach-Steinhaus, Αρχή Ομοιομόρφου φράγματος).
Γενικές Ικανότητες	Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών Αυτόνομη εργασία Ομαδική εργασία Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής

Περιεχόμενο Μαθήματος

Βασικά στοιχεία διανυσματικών χώρων. Βάσεις Hamel. Γραμμικοί τελεστές. Γραμμικοί χώροι με νόρμα. Χώροι Banach και κλασσικά παραδείγματα. Χώροι πεπερασμένης διάστασης. Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές, φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή και υπολογισμός νόρμας αυτών. Δυϊκός χώρος. Συζυγείς τελεστές. Το θεώρημα Hahn-Banach και οι συνέπειές του. Ο δεύτερος δυϊκός χώρος. Αυτοπαθείς (reflexive) χώροι. Το θεώρημα κατηγορίας του Baire και κάποιες εφαρμογές του στη Συναρτησιακή Ανάλυση (Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης, Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος, Αρχή ομοιομόρφου Φράγματος, Θεώρημα Banach-Steinhauss).

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης

Η διδασκαλία γίνεται με διαλέξεις στον πίνακα από το διδάσκοντα

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

Χρήση email και ecourse για επικοινωνία με τον διδάσκοντα.

Οργάνωση Διδασκαλίας

Δραστηριότητα	Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις (13Χ3)	39
Αυτοτελής Μελέτη	78
Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες	33
Σύνολο Μαθήματος	150

Αξιολόγηση Φοιτητών

Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου υποχρεωτική), ενδιάμεση εξέταση (προαιρετική) και παράδοση εργασιών από τους φοιτητές σειράς ασκήσεων (προαιρετική).

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

---

@@ Γραμμή 1: / Γραμμή 1: @@
-* [[Functional Analysis I (MAE711)|English version]]
+* [[Functional Analysis (MAE719)|English version]]
 {{Course-UnderGraduate-Top-GR}}
+{{Menu-OnAllPages-GR}}
 === Γενικά ===
@@ Γραμμή 16: / Γραμμή 17: @@
 |-
 ! Κωδικός Μαθήματος
-| MAE711
+| MAE719
 |-
 ! Εξάμηνο
@@ Γραμμή 22: / Γραμμή 23: @@
 |-
 ! Τίτλος Μαθήματος
-| ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I
+| Συναρτησιακή Ανάλυση
 |-
 ! Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
@@ Γραμμή 31: / Γραμμή 32: @@
 |-
 ! Προαπαιτούμενα Μαθήματα
-|
+| Δεν υπάρχουν, αλλά είναι επιθυμητή η επιτυχής εξέταση στο μάθημα «Μετρικοί χώροι και η Τοπολογία τους».
 |-
 ! Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
@@ Γραμμή 48: / Γραμμή 49: @@
 |-
 ! Μαθησιακά Αποτελέσματα
-| Οι στόχοι του μαθήματος είναι η εξοικείωση του φοιτητή με τις έννοιες, τα βασικά θεωρήματα και τις τεχνικές που αφορούν χώρους Banach, τους φραγμένους γραμμικούς τελεστές μεταξύ αυτών και τους συζυγείς χώρους καθώς και ειδικότερα στους χώρους Hilbert. Με την ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής θα είναι σε θέση να αναγνωρίζει αν ένας χώρος με νόρμα είναι χώρος Banach, να υπολογίζει τη νόρμα ενός τελεστή, να έχει ευχέρεια στη χρήση των βασικών θεωρημάτων της Συναρτησιακής Ανάλυσης (Θεώρημα Hahn-Banach και συνέπειες αυτού, Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης, Αρχή Ομοιομόρφου φράγματος), και γνώση των βασικών θεωρημάτων και τεχνικών πάνω στους χώρους Hilbert (π.χ. ύπαρξη ορθοκανονικών βάσεων, διαδικασία ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt, ισομετρία κάθε χώρου Hilbert με το συζυγή του).
+|
+Οι στόχοι του μαθήματος είναι η εξοικείωση του φοιτητή με τις έννοιες, τα βασικά θεωρήματα και τις τεχνικές που αφορούν διανυσματικούς χώρους με νόρμα, χώρους Banach, τους φραγμένους γραμμικούς τελεστές μεταξύ αυτών και τους δυϊκούς χώρους. Με την ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής θα είναι σε θέση να αναγνωρίζει αν ένας χώρος με νόρμα είναι χώρος Banach, να υπολογίζει τη νόρμα ενός τελεστή και να έχει ευχέρεια στη χρήση των βασικών θεωρημάτων της Συναρτησιακής Ανάλυσης (Θεώρημα Hahn-Banach και συνέπειες αυτού, Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης, Θεώρημα του κλειστού γραφήματος, Θεώρημα Banach-Steinhaus, Αρχή Ομοιομόρφου φράγματος).
 |-
 ! Γενικές Ικανότητες
 |
-Το μάθημα αποσκοπεί στο να αποκτήσει ο πτυχιούχος το θεωρητικό υπόβαθρο και την ευχέρεια χρήσης των βασικών θεωρημάτων και τεχνικών της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Προάγει την αναλυτική και συνθετική σκέψη ώστε ο φοιτητής να είναι σε θέση να εφαρμόσει τις γνώσεις που αποκτά σε ένα ευρύτερο πεδίο που περιλαμβάνει όλο το φάσμα της μαθηματικής ανάλυσης.
+* Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών
+* Αυτόνομη εργασία
+* Ομαδική εργασία
+* Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής
 |}
 === Περιεχόμενο Μαθήματος ===
-Γραμμικοί χώροι και αλγεβρικές βάσεις (Hamel βάσεις), γραμμικοί τελεστές. Χώροι με νόρμα, χώροι Banach, κλασσικά παραδείγματα. Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές, δυϊκοί χώροι, συζυγείς τελεστές. Το θεώρημα Hahn-Banach και οι συνέπειές του. Αυτοπαθείς χώροι. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο, χώροι Hilbert, ορθοκανονικά συστήματα, κάθε χώρος Hilbert είναι ισομετρικός με το δυϊκό του. Το θεώρημα κατηγορίας του Baire και κάποιες εφαρμογές του στη Συναρτησιακή Ανάλυση (Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης, Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος, Αρχή ομοιομόρφου Φράγματος, Θεώρημα Banach-Steinhauss).
+Βασικά στοιχεία διανυσματικών χώρων. Βάσεις Hamel. Γραμμικοί τελεστές. Γραμμικοί χώροι με νόρμα. Χώροι Banach και κλασσικά παραδείγματα. Χώροι πεπερασμένης διάστασης. Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές, φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή και υπολογισμός νόρμας αυτών. Δυϊκός χώρος. Συζυγείς τελεστές. Το θεώρημα Hahn-Banach και οι συνέπειές του. Ο δεύτερος δυϊκός χώρος. Αυτοπαθείς (reflexive) χώροι. Το θεώρημα κατηγορίας του Baire και κάποιες εφαρμογές του στη Συναρτησιακή Ανάλυση (Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης, Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος, Αρχή ομοιομόρφου Φράγματος, Θεώρημα Banach-Steinhauss).
 === Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
@@ Γραμμή 67: / Γραμμή 72: @@
 |-
 ! Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
-|
+| Χρήση email και ecourse για επικοινωνία με τον διδάσκοντα.
 |-
 ! Οργάνωση Διδασκαλίας