Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΑΕ713): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Τελευταία αναθεώρηση της 16:10, 16 Αυγούστου 2024

English version
Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων
Τροποποίηση Περιγράμματος (η δυνατότητα αυτή απευθύνεται αποκλειστικά στα μέλη ΔΕΠ του Τμήματος)
Τμήμα Μαθηματικών
Αποθήκευση ως PDF ή Εκτύπωση (για αποθήκευση ως PDF, κάντε την σχετική επιλογή στη λίστα εκτυπωτών που θα εμφανιστεί)

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE713
Εξάμηνο	7
Τίτλος Μαθήματος	ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα	Το μάθημα εισάγει τους φοιτητές στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ). Τονίζεται η σημασία του ότι οι λύσεις τους είναι βαθμωτές ή διανυσματικές συναρτήσεις περισσοτέρων της μίας ανεξάρτητων μεταβλητών και ότι, σε αντίθεση με τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, αυτό έχει σημαντικές επιπτώσεις, υπό την έννοια ότι στις ΜΔΕ, εκτός από τις αναλυτικές ιδιότητες των λύσεων, εξέχοντα ρόλο παίζει η αλγεβρική δομή των εξισώσεων, η οποία συνεπάγεται και γεωμετρικές ιδιότητες των λύσεων. Τονίζεται επίσης η σύνδεση με και προέλευση από τις Φυσικές Επιστήμες και τη Γεωμετρία για πολλές από αυτές και ότι αυτό συνεπάγεται όχι μόνο ότι η εστίαση κυρίως σε συγκεκριμένους τύπους εξισώσεων προκύπτει από τα ερωτήματα που τίθενται από άλλες επιστημονικές περιοχές, αλλά και ότι αυτές υπαγορεύουν σε μεγάλο βαθμό με φυσικό τρόπο τις μεθόδους επίλυσης και μελέτης των ιδιοτήτων των διάφορων κλάσεων ΜΔΕ. Έτσι, το μάθημα ενισχύει στους φοιτητές ιδιαίτερα τη δεξιότητα να εξετάζουν ένα πρόβλημα από περισσότερες σκοπιές και να λαμβάνουν υπόψη τους αποτελέσματα και γνώσεις από άλλες επιστημονικές περιοχές. Ειδικότερα, το μάθημα εισάγει τους φοιτητές στις κυριότερες κλάσεις ΜΔΕ, αναδεικνύει το ότι κάθε κλάση είναι συνυφασμένη με τις δικές της τεχνικές ανάλυσης, ότι οι λύσεις τους έχουν ιδιότητες χαρακτηριστικές για την κλάση στην οποία ανήκουν, και ότι αποτελέσματα που προκύπτουν για μία κλάση μπορούν να χρησιμοποιηθούν εν μέρει και για την ανάλυση μιας άλλης, υπό ουσιώδεις όμως περιορισμούς. Στην εισαγωγικό αυτό μάθημα στις ΜΔΕ εξετάζονται κατ’ αρχάς μόνο κλασικές λύσεις και η έμφαση δίνεται στη ρητή επίλυση πρότυπων εξισώσεων για κάθε κλάση και σε μια πρώτη μελέτη των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων τους.
Γενικές Ικανότητες	Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών Αυτόνομη εργασία Ομαδική εργασία Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

Περιεχόμενο Μαθήματος

Εισαγωγικά: oρισμός ΜΔΕ, oρισμός κλασικής λύσης. Ταξινόμηση ως προς τη (μη) γραμμικότητα. Παραδείγματα εξισώσεων και συστημάτων. Εξισώσεις πρώτης τάξης. Μέθοδος χαρακτηριστικών. Εξίσωση μεταφοράς. Γραμμικές ΜΔΕ δεύτερης τάξης. Εξίσωση Laplace και Poisson, εξίσωση θερμότητας, εξίσωση κύματος: τύποι αναπαράστασης λύσεων και μέθοδος ενέργειας.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης

Πρόσωπο με πρόσωπο, αλλά και με άλλες μεθόδους (π.χ. μέσω παρουσιάσεων των φοιτητών), κατά την κρίση του διδάσκοντα.

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

Χρήση της ιστοσελίδας του μαθήματος για την παροχή υλικού και για επικοινωνία με τους φοιτητές.

Οργάνωση Διδασκαλίας

Δραστηριότητα	Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις (13Χ3)	39
Αυτοτελής Μελέτη	78
Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες	33
Σύνολο Μαθήματος	150

Αξιολόγηση Φοιτητών

Κατά την κρίση του διδάσκοντα.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

Δάσιος, Γ., Κυριάκη, Κ., & Βαφέας, Π. (2023). Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις [Προπτυχιακό εγχειρίδιο]. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. http://dx.doi.org/10.57713/kallipos-317
L. C. Evans. Partial Differential Equations. Second edition. AMS, 2010.
G. B. Folland. Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press, 1995.

@@ Γραμμή 50: / Γραμμή 50: @@
 ! Μαθησιακά Αποτελέσματα
 |
-Στόχος του μαθήματος είναι η εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Με το μάθημα αυτό οι φοιτητές γνωρίζουν μια ευρεία περιοχή της Ανάλυσης, η οποία έχει πολλές εφαρμογές σε άλλες επιστήμες. Το μάθημα αναδεικνύει την πληθώρα των προβλημάτων που ανακύπτουν και παρουσιάζει μεθόδους υπερκέρασής τους. Αυτές παρουσιάζονται παραδειγματικά και αποσκοπούν στο να διδάξουν τρόπους υπέρβασης και γενίκευσης γνωστών μεθόδων και λύσεων. Οι φοιτητές μαθαίνουν να αναλύουν μεθοδικά εξωγενή προβλήματα λαμβάνοντας υπόψη τους αντίστοιχες πληροφορίες και στόχους, και να προσπαθούν να εφαρμόσουν γνώσεις άλλων περιοχών των Θεωρητικών Μαθηματικών στην επίλυση των προβλημάτων. Επίσης, μαθαίνουν να ερμηνεύουν τα μαθηματικά αποτελέσματα. Σε επίπεδο ύλης, οι φοιτητές μελετούν Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης σε δυο μεταβλητές και κυρίως τις γραμμικές, και από την πλευρά της επίλυσής τους και από την πλευρά της ποιοτικής ανάλυσής τους, και αποκομίζουν μια στοιχειώδη εποπτεία περαιτέρω προβλημάτων.
+Το μάθημα εισάγει τους φοιτητές στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ). Τονίζεται η σημασία του ότι οι λύσεις τους είναι βαθμωτές ή διανυσματικές συναρτήσεις περισσοτέρων της μίας ανεξάρτητων μεταβλητών και ότι, σε αντίθεση με τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, αυτό έχει σημαντικές επιπτώσεις, υπό την έννοια ότι στις ΜΔΕ, εκτός από τις αναλυτικές ιδιότητες των λύσεων, εξέχοντα ρόλο παίζει η αλγεβρική δομή των εξισώσεων, η οποία συνεπάγεται και γεωμετρικές ιδιότητες των λύσεων. Τονίζεται επίσης η σύνδεση με και προέλευση από τις Φυσικές Επιστήμες και τη Γεωμετρία για πολλές από αυτές και ότι αυτό συνεπάγεται όχι μόνο ότι η εστίαση κυρίως σε συγκεκριμένους τύπους εξισώσεων προκύπτει από τα ερωτήματα που τίθενται από άλλες επιστημονικές περιοχές, αλλά και ότι αυτές υπαγορεύουν σε μεγάλο βαθμό με φυσικό τρόπο τις μεθόδους επίλυσης και μελέτης των ιδιοτήτων των διάφορων κλάσεων ΜΔΕ.
+Έτσι, το μάθημα ενισχύει στους φοιτητές ιδιαίτερα τη δεξιότητα να εξετάζουν ένα πρόβλημα από περισσότερες σκοπιές και να λαμβάνουν υπόψη τους αποτελέσματα και γνώσεις από άλλες επιστημονικές περιοχές. Ειδικότερα, το μάθημα εισάγει τους φοιτητές στις κυριότερες κλάσεις ΜΔΕ, αναδεικνύει το ότι κάθε κλάση είναι συνυφασμένη με τις δικές της τεχνικές ανάλυσης, ότι οι λύσεις τους έχουν ιδιότητες χαρακτηριστικές για την κλάση στην οποία ανήκουν, και ότι αποτελέσματα που προκύπτουν για μία κλάση μπορούν να χρησιμοποιηθούν εν μέρει και για την ανάλυση μιας άλλης, υπό ουσιώδεις όμως περιορισμούς. Στην εισαγωγικό αυτό μάθημα στις ΜΔΕ εξετάζονται κατ’ αρχάς μόνο κλασικές λύσεις και η έμφαση δίνεται στη ρητή επίλυση πρότυπων εξισώσεων για κάθε κλάση και σε μια πρώτη μελέτη των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων τους.
 |-
 ! Γενικές Ικανότητες
 |
-* Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών
+* Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών
 * Αυτόνομη εργασία
-* Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον
+* Ομαδική εργασία
-* Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης.
+* Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον
+* Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
 |}
 === Περιεχόμενο Μαθήματος ===
-* Επισκόπηση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) και Συστημάτων: ταξινόμηση ως προς τη (μη-)γραμμικότητα, περιγραφή των προβλημάτων που ανακύπτουν και των διαφόρων ειδών λύσεων (κλασικές και ασθενείς, γενικές και με συνοριακές συνθήκες).
+Εισαγωγικά: oρισμός ΜΔΕ, oρισμός κλασικής λύσης. Ταξινόμηση ως προς τη (μη) γραμμικότητα. Παραδείγματα εξισώσεων και συστημάτων. Εξισώσεις πρώτης τάξης. Μέθοδος χαρακτηριστικών. Εξίσωση μεταφοράς. Γραμμικές ΜΔΕ δεύτερης τάξης. Εξίσωση Laplace και Poisson, εξίσωση θερμότητας, εξίσωση κύματος: τύποι αναπαράστασης λύσεων και μέθοδος ενέργειας.
-(Στα επόμενα εστίαση σε δυο ανεξάρτητες μεταβλητές.)
-* ΜΔΕ πρώτης τάξης (γραμμικές, ημιγραμμικές, σχεδόν γραμμικές): γεωμετρικές και αλγεβρικές παρατηρήσεις για την ποιοτική ανάλυσή τους, προβλήματα αρχικών τιμών και μέθοδος χαρακτηριστικών, μελέτη της εξίσωσης Burgers, κρουστικά κύματα και ασθενείς λύσεις, συνθήκη Rankine-Hugoniot.
-* ΜΔΕ δεύτερης τάξης: ταξινόμηση, χαρακτηριστικές κατευθύνσεις και χαρακτηριστικές καμπύλες, κυματική εξίσωση στην ευθεία (ομογενής και μη), χωρισμός μεταβλητών για την εξίσωση Laplace και την εξίσωση της θερμότητας, τύπος του Poisson.
-(Εναλλακτικά: αντί για τη μελέτη της (μη γραμμικής) εξίσωσης Burgers και ασθενών λύσεων μπορούν να δοθούν στοιχεία μετασχηματισμών Fourier και να μελετηθεί η εξίσωση της θερμότητας στην ευθεία).
 === Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
@@ Γραμμή 76: / Γραμμή 72: @@
 |-
 ! Τρόπος Παράδοσης
-| Παράδοση στον πίνακα
+|
+Πρόσωπο με πρόσωπο, αλλά και με άλλες μεθόδους (π.χ. μέσω παρουσιάσεων των φοιτητών), κατά την κρίση του διδάσκοντα.
 |-
 ! Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
-| Οι φοιτητές μπορούν να επικοινωνήσουν μέσω e-mail με τον διδάσκοντα.
+|
+Χρήση της ιστοσελίδας του μαθήματος για την παροχή υλικού και για επικοινωνία με τους φοιτητές.
 |-
 ! Οργάνωση Διδασκαλίας
@@ Γραμμή 102: / Γραμμή 100: @@
 ! Αξιολόγηση Φοιτητών
 |
-* Γραπτή εξέταση (υποχρεωτικά)
+Κατά την κρίση του διδάσκοντα.
-* Εργασίες για το σπίτι (προαιρετικά)
 |}