Γεωμετρία Riemann (ΜΑΕ825)

• English version
• Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων
• Τροποποίηση Περιγράμματος (η δυνατότητα αυτή απευθύνεται αποκλειστικά στα μέλη ΔΕΠ του Τμήματος)

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE825
Εξάμηνο	8
Τίτλος Μαθήματος	ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στις θεμελιώδεις έννοιες της Γεωμετρίας Riemann. Εισάγαγονται βασικές έννοιες, όπως μετρικές Riemann, συνοχή Levi-Civita, τανυστής καμπυλότητας, καμπυλότητα Ricci και διαφορικές μορφές σε πολυπτύγματα με σύνορο. Επίσης, εισάγαγονται τα υποπολυπτύγματα Riemann και μελετάμε τις θεμελιώδεις εξισώσεις Gauss-Codazzi-Ricci. Το μάθημα ολοκληρώνεται με την παρουσίαση ενός ολικού αποτελέσματατος που συνδέει Γεωμετρία και Τοπολογία· του θεωρήματος της σφαίρας. Στο τέλος του μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τις έννοιες, τους ορισμούς και τα κύρια θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο φοιτητής να αποκτήσει ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων στη σύγχρονη Γεωμετρία Riemann.

Περιεχόμενο Μαθήματος

• Ο τανυστής καμπυλότητας.
• Το θεώρημα του Schur.
• Διαφορικές μορφές.
• Ολοκλήρωση σε πολυπτύγματα.
• Το θεώρημα του Stokes.
• Υποπολυπτυγματα Riemann.
• Εξισώσεις Gauss-Codazzi-Ricci.
• Πλήρη πολυπτύγματα.
• Το θεώρμα Hopf-Rinow.
• Θεωρήματα συγκρίσεως.
• Το θεώρημα της σφαίρας.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ3) 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 33 Σύνολο Μαθήματος 150
Αξιολόγηση Φοιτητών	Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

• M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhaüser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.
• J. Eschenburg, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Universität Augsburg, 1994.
• J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Universitext, Springer, 2017.
• J. Lee, Riemannian manifolds: An Introduction to Curvature, Vol. 176, Springer, 1997.
• P. Petersen, Riemannian Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 171, Springer, 2016.
• Δ. Κουτρουφιώτης, Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, 1994.