Αριθμητική Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους (ΜΑΕ882)

English version
Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων
Τροποποίηση Περιγράμματος (η δυνατότητα αυτή απευθύνεται αποκλειστικά στα μέλη ΔΕΠ του Τμήματος)
Τμήμα Μαθηματικών
Αποθήκευση ως PDF ή Εκτύπωση (για αποθήκευση ως PDF, κάντε την σχετική επιλογή στη λίστα εκτυπωτών που θα εμφανιστεί)

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE881
Εξάμηνο	8
Τίτλος Μαθήματος	ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα	Το μάθημα είναι μια εισαγωγή στις βασικές αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.). Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα μπορούν να: περιγράφουν και να εφαρμόζουν βασικές μεθόδους προσέγγισης της λύσης προβλημάτων συνοριακών ή και αρχικών τιμών για ενδεικτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, όπως η Laplace και η εξίσωση θερμότητας. εφαρμόζουν βασικές τεχνικές ανάλυσης μεθόδων πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων. να γνωρίζουν για μια μέθοδο τη βέλτιστη τάξη ακρίβειάς της καθώς και τους περιορισμούς που μπορεί να απαιτούνται στις παραμέτρους διακριτοποίησης με στόχο την εξασφάλιση της ευστάθειάς της. να υλοποιούν μεθόδους πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων (σε Octave ἠ Python) και να υπολογίζουν την πειραματική τάξη σύγκλισής τους.
Γενικές Ικανότητες	Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις Λήψη αποφάσεων. Αυτόνομη εργασία. Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον. Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης. Προαγωγή της αναλυτικής και συνθετικής σκέψης.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Προσέγγιση παραγώγων με πεπερασμένες διαφορές.
Το πρόβλημα δύο σημείων. Συνοριακές συνθήκες Dirichlet, Neumann, και Robin.
Διακριτοποίηση του προβλήματος δύο σημείων με μεθόδους πεπερασμένων διαφορών. Συνέπεια και ευστάθεια των αριθμητικών μεθόδων. Η μέθοδος της ενέργειας. Τάξη ακρίβειας και σύγκλιση.
Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για τη λύση του προβλήματος δύο σημείων. Εκ των προτέρων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις του σφάλματος. Υλοποίηση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων.
Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας. Η άμεση και η πεπλεγμένη μέθοδος του Euler. Η μέθοδος των Crank-Nicolson.
Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για ελλειπτικές και παραβολικές εξισώσεις σε πολλές διαστάσεις.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης

Πρόσωπο με πρόσωπο.

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

Xρήση ταμπλέτας για την παράδοση διδασκαλίας. Οι σημειώσεις από την τάξη γίνονται διαθέσιμες σε μορφή pdf στο ecourse.
Παροχή υλικού μελέτης μέσω του ecourse.
Παροχή πρότυπων λύσεων κάποιων ασκήσεων σε μορφή podcast.
Επικοινωνία με τους φοιτητές χρησιμοποιώντας e-mail, και τις πλατφόρμες ecourse και MTeams.
Εργαστήριο προγραμματισμού με αντικείμενο την υλοποίηση αλγορίθμων σε ηλεκτρονικό υπολογιστή (σε Octave ή Python).

Οργάνωση Διδασκαλίας

Δραστηριότητα	Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις (13Χ3)	39
Αυτοτελής Μελέτη	75
Καθοδηγούμενη μελέτη ασκήσεων	6
Μη καθοδηγούμενη μελέτη ασκήσεων	30
Σύνολο Μαθήματος	150

Αξιολόγηση Φοιτητών

Εργαστηριακές ασκήσεις με προφορική εξέταση. (35% του τελικού βαθμού, κάλυψη μαθησιακών αποτελεσμάτων 2 και 4).
Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. (65% του τελικού βαθμού, κάλυψη μαθησιακών αποτελεσμάτων 1-3).

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

“Αριθμητική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων”, Π. Χατζηπαντελίδης, & Μ. Πλεξουσάκης, Κάλλιπος, (2015). http://hdl.handle.net/11419/665
“Αριθμητικές Μέθοδοι για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις”, Γ. Δ. Ακρίβης, & Β. Α. Δουγαλής., Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2η έκδοση, 2013.
“The mathematical theory of finite element methods”, S. C. Brenner & L. R. Scott (Third ed., Vol. 15), Springer, New York, 2008.
“Partial differential equations with numerical methods”, S. Larsson, & V. Thomée, Springer-Verlag, Berlin, 2009.