Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση (ΜΑE818): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Τελευταία αναθεώρηση της 18:17, 24 Σεπτεμβρίου 2023

English version
Περιγράμματα Προπτυχιακών Μαθημάτων
Τροποποίηση Περιγράμματος (η δυνατότητα αυτή απευθύνεται αποκλειστικά στα μέλη ΔΕΠ του Τμήματος)
Τμήμα Μαθηματικών
Αποθήκευση ως PDF ή Εκτύπωση (για αποθήκευση ως PDF, κάντε την σχετική επιλογή στη λίστα εκτυπωτών που θα εμφανιστεί)

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE818
Εξάμηνο	8
Τίτλος Μαθήματος	Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα	Η Στοχαστική Ανάλυση είναι κλάδος των μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη στοχαστικών διαδικασιών με μη-διαφορίσιμα μονοπάτια. Ένα από τα βασικά της εργαλεία της είναι το στοχαστικό ολοκλήρωμα του Ito. Μέσω αυτού ορίζονται οι στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση και τη μελέτη τυχαίων φαινομένων συνεχούς χρόνου. Η Στοχαστική Ανάλυση βρίσκει εφαρμογές σε περιοχές όπως η Φυσική και τα Χρηματοοικονομικά. Στόχος είναι οι φοιτητές να έχουν αποκτήσει μετά την παρακολούθηση του μαθήματος μία πρώτη εξοικείωση με τη Στοχαστική Ανάλυση και συγκεκριμένα με: Βασικές έννοιες των στοχαστικών διαδικασιών σε διακριτό και συνεχή χρόνο. Την κίνηση Brown και βασικές της ιδιότητες. Τον ορισμό του στοχαστικού ολοκληρώματος ως προς την κίνηση Brown και τον τύπο του Ito. Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις και εφαρμογές.
Γενικές Ικανότητες	Αυτόνομη εργασία Ομαδική εργασία Προαγωγή δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης Προαγωγή αναλυτικής και συνθετικής σκέψης

Περιεχόμενο Μαθήματος

Βασικές έννοιες στοχαστικών διαδικασιών σε διακριτό και συνεχή χρόνο: Ορισμοί, σχέσεις ισότητας και κατανομές στοχαστικών διαδικασιών, διαδικασίες με συνεχή μονοπάτια. (σ)-άλγεβρες, διηθήσεις, χρόνοι διακοπής, δεσμευμένη μέση τιμή. Βασικές κλάσεις στοχαστικών διαδικασιών: Ισόρροπες διαδικασίες (martingales), διαδικασίες Levy, μαρκοβιανές διαδικασίες, συναρτήσεις πιθανοτήτων μετάβασης και γεννήτορες. Κίνηση Brown: Ορισμός, ύπαρξη και μοναδικότητα, βασικές ιδιότητες (π.χ. αναλυτικές ιδιότητες μονοπατιών, αρχή της ανάκλασης, ισχυρή μαρκοβιανή ιδιότητα, σχέση με την εξίσωση της θερμότητας), ισόρροπες διαδικασίες σχετιζόμενες με την κίνηση Brown και χρόνοι εξόδου. Στοχαστικός Λογισμός: Σταδιακή κατασκευή και επέκταση του Ολοκληρώματος του Ito ως προς την κίνηση Brown, το ολοκλήρωμα ως στοχαστική διαδικασία, ο τύπος του Ito, στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ), ύπαρξη και μοναδικότητα, επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ. Εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους: Αρμονικές συναρτήσεις και το πρόβλημα εξόδου για την κίνηση Brown, πιθανοθεωρητική αναπαράσταση λύσεων, τύπος Feynman-Kac. Ο τελεστής Laplace ως γεννήτορας της κίνησης Brown. Διαδικασίες Ito και ο γεννήτορας τους. Εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά: Χαρτοφυλάκια και εξισορροπητική κερδοσκοπία (arbitrage), ευρωπαϊκά παράγωγα, εξίσωση Black-Scholes .

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης

Διαλέξεις

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

-

Οργάνωση Διδασκαλίας

Δραστηριότητα	Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις (13Χ3)	39
Αυτοτελής Μελέτη	78
Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες	33
Σύνολο Μαθήματος	150

Αξιολόγηση Φοιτητών

Η αξιολόγηση των φοιτητών θα γίνει με εβδομαδιαίες ασκήσεις, πρόοδο και τελική εξέταση.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος ή το τοπικό αποθετήριο του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

Lawrence C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, American Mathematical Society, 2013.
Bernt Oksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications of Univesitext, Springer-Verlag, Berlin, 6th edition, 2003.
S.N. Cohen and R.J. Elliott, Stochastic Calculus and Applications, Second Edition of Probability and Its Applications, Birkhauser, 2015.
I. Karatzas and S.E. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd edition volume 113 of Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1991.
D. Revuz and M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd Edition volume 293 of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [A Series of Comprehensive Studies in Mathematics], Springer, 2005.

@@ Γραμμή 1: / Γραμμή 1: @@
-* [[ΧΧΧ (MAE818)|English version]]
+* [[Introduction to Stochastic Analysis (MAE818)|English version]]
 {{Course-UnderGraduate-Top-GR}}
+{{Menu-OnAllPages-GR}}
 === Γενικά ===
@@ Γραμμή 27: / Γραμμή 28: @@
 | Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
 |-
-! Τύπος Μαθήματος
+! [[Τύποι Προπτυχιακών Μαθημάτων|Τύπος Μαθήματος]]
-| Ειδικού Υποβάθρου
+| Ειδίκευσης
 |-
 ! Προαπαιτούμενα Μαθήματα
@@ Γραμμή 49: / Γραμμή 50: @@
 ! Μαθησιακά Αποτελέσματα
 |
-Το αντικείμενο της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η μελέτη φυσικών φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα. Αντικείμενο του μαθήματος είναι η εισαγωγή των φοιτητών στην αυστηρά θεμελιωμένη Θεωρία Πιθανοτήτων και η απόδειξη των κεντρικότερων αποτελεσμάτων της σε γενικότητα κατάλληλη για το επίπεδο των προπτυχιακών σπουδών. Συγκεκριμένα μετά το τέλος του μαθήματος οι φοιτητές θα γνωρίζουν:
+Η Στοχαστική Ανάλυση είναι κλάδος των μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη στοχαστικών διαδικασιών με μη-διαφορίσιμα μονοπάτια. Ένα από τα βασικά της εργαλεία της είναι το στοχαστικό ολοκλήρωμα του Ito. Μέσω αυτού ορίζονται οι στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση και τη μελέτη τυχαίων φαινομένων συνεχούς χρόνου. Η Στοχαστική Ανάλυση βρίσκει εφαρμογές σε περιοχές όπως η Φυσική και τα Χρηματοοικονομικά. Στόχος είναι οι φοιτητές να έχουν αποκτήσει μετά την παρακολούθηση του μαθήματος μία πρώτη εξοικείωση με τη Στοχαστική Ανάλυση και συγκεκριμένα με:
-# Την αυστηρή θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων του Kolmogorov.
+# Βασικές έννοιες των στοχαστικών διαδικασιών σε διακριτό και συνεχή χρόνο.
-# Την έννοια της στοχαστικής ανεξαρτησίας (σ)-αλγεβρών.
+# Την κίνηση Brown και βασικές της ιδιότητες.
-# Την απόδειξη του Νόμου των Μεγάλων Αριθμών για τετραγωνικά ολοκληρώσιμες ακολουθίες ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ.
+# Τον ορισμό του στοχαστικού ολοκληρώματος ως προς την κίνηση Brown και τον τύπο του Ito.
-# Τη δεσμευμένη μέση τιμή και ισορροπημένες διαδικασίες (martingales).
+# Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις και εφαρμογές.
-# Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, ασθενή σύγκλιση και την απόδειξη του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος.
 |-
 ! Γενικές Ικανότητες
@@ Γραμμή 66: / Γραμμή 66: @@
 === Περιεχόμενο Μαθήματος ===
-Θεμελίωση Θεωρίας Πιθανοτήτων: Χώροι πιθανότητας, τυχαίες μεταβλητές ως μετρήσιμες συναρτήσεις, Borel (σ)-άλγεβρες, κατανομή τυχαίων μεταβλητών, το (π)-(λ) θεώρημα του Dynkin και ισότητα μέτρων. Μέση τιμή: Η μέση τιμή ως ολοκλήρωμα Lebesgue, Χώροι (L<sup>p</sup>), μέτρο εικόνα, ολοκλήρωση ως προς μέτρα εικόνα, η συνάρτηση πυκνότητας ως Radon-Nikodym παράγωγος της κατανομής, συναρτήσεις κατανομής. Ανισότητα Markov-Chebyshev, ανισότητα Jensen. Ροπογεννήτριες συναρτήσεις, φράγματα Chernoff. Κατά πιθανότητα και κατά σημείο σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών και θεωρήματα σύγκλισης. Στοχαστική ανεξαρτησία 1: Στοχαστική ανεξαρτησία συνόλων, (σ)-αλγεβρών και τυχαίων μεταβλητών, κριτήριο ανεξαρτησίας μέσω (π)-συστημάτων. Ανεξαρτησία και μέση τιμή, συνέλιξη και άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Τα λήμματα Borel-Cantelli και ο νόμος (0)-(1) του Kolomogorov. Νόμος των μεγάλων Αριθμών: Απόδειξη του ασθενούς νόμου των μεγάλων αριθμών, απόδειξη του ισχυρού νόμου των μεγάλων αριθμών για τετραγωνικά ολοκληρώσιμες τ.μ. Ασθενής σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών και κατανομών και εμπειρικός νόμος των μεγάλων αριθμών. Στοχαστική ανεξαρτησία 2: Άπειρο γινόμενο χώρων πιθανότητας, κατασκευές ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ. με δεδομένη κατανομή, απόδειξη της ερμηνείας της πιθανότητας ως σχετική συχνότητα μέσω του νόμου των μεγάλων αριθμών. Δεσμευμένη μέση τιμή: Ύπαρξη ως Radon-Nikodym παράγωγος, ύπαρξη ως προβολή, βασικές ιδιότητες και θεωρήματα σύγκλισης για τη δεσμευμένη μέση τιμή, το θεώρημα της διάσπασης. Ισόρροπες ακολουθίες (martingales): Διηθήσεις, προσαρμοσμένες ακολουθίες, ορισμός ισορροπημένων διαδικασιών και παραδείγματα, χρόνοι στάσης, θεώρημα επιλεκτικής στάσης του Doob, το θεώρημα σύγκλισης, τετραγωνικά ολοκληρώσιμες ισορροπημένες ακολουθίες, απόδειξη του νόμου των μεγάλων αριθμών μέσω ισόρροπων διαδικασιών. Κεντρικό Οριακό Θεώρημα: Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, το θεώρημα σύγκλισης του Levy για την ασθενή σύγκλιση, απόδειξη του κεντρικού οριακού θεωρήματος.
+Βασικές έννοιες στοχαστικών διαδικασιών σε διακριτό και συνεχή χρόνο: Ορισμοί, σχέσεις ισότητας και κατανομές στοχαστικών διαδικασιών, διαδικασίες με συνεχή μονοπάτια. (σ)-άλγεβρες, διηθήσεις, χρόνοι διακοπής, δεσμευμένη μέση τιμή. Βασικές κλάσεις στοχαστικών διαδικασιών: Ισόρροπες διαδικασίες (martingales), διαδικασίες Levy, μαρκοβιανές διαδικασίες, συναρτήσεις πιθανοτήτων μετάβασης και γεννήτορες. Κίνηση Brown: Ορισμός, ύπαρξη και μοναδικότητα, βασικές ιδιότητες (π.χ. αναλυτικές ιδιότητες μονοπατιών, αρχή της ανάκλασης, ισχυρή μαρκοβιανή ιδιότητα, σχέση με την εξίσωση της θερμότητας), ισόρροπες διαδικασίες σχετιζόμενες με την κίνηση Brown και χρόνοι εξόδου. Στοχαστικός Λογισμός: Σταδιακή κατασκευή και επέκταση του Ολοκληρώματος του Ito ως προς την κίνηση Brown, το ολοκλήρωμα ως στοχαστική διαδικασία, ο τύπος του Ito, στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ), ύπαρξη και μοναδικότητα, επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ. Εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους: Αρμονικές συναρτήσεις και το πρόβλημα εξόδου για την κίνηση Brown, πιθανοθεωρητική αναπαράσταση λύσεων, τύπος Feynman-Kac. Ο τελεστής Laplace ως γεννήτορας της κίνησης Brown. Διαδικασίες Ito και ο γεννήτορας τους. Εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά: Χαρτοφυλάκια και εξισορροπητική κερδοσκοπία (arbitrage), ευρωπαϊκά παράγωγα, εξίσωση Black-Scholes
+.
 === Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
@@ Γραμμή 104: / Γραμμή 105: @@
 <!-- Για να επεξεργαστείτε την βιβλιογραφία, επισκευτείτε την σελίδα -->
-<!-- https://wiki.math.uoi.gr/index.php/%CE%A0%CF%81%CF%8C%CF%84%CF%85%CF%80%CE%BF:MAE717-Biblio -->
+<!-- https://wiki.math.uoi.gr/index.php/%CE%A0%CF%81%CF%8C%CF%84%CF%85%CF%80%CE%BF:MAE818-Biblio -->
 Δείτε την υπηρεσία [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Εύδοξος] ή το [https://cloud.math.uoi.gr/index.php/s/62t8WPCwEXJK7oL τοπικό αποθετήριο] του Τμήματος Μαθηματικών για τα παρεχόμενα συγγράμματα ανά ακαδημαϊκό έτος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:
-{{MAE717-Biblio}}
+{{MAE818-Biblio}}